ПРАКТИКУМ по теме «Двойной интеграл»

Имеем на плоскости хОу область D, ограниченную контуром D и функцию z = f(x,y)0, которая определяет некоторую поверхность над D .

восстановленные из всех точек контура D. Вычисление объема такого бруса методом интегральной суммы приводит к понятию двойного интеграла.

V = lim f()si = f(x,y) dx dy при n (1)

Опр. Двойным интегралом от функции f(x,y) по области D на плоскости хОу наз. предел интегральной суммы, полученный разделением области D на малые участки. Переменные интегрирования определяют площади этих участков - si = xiyi , а f() - высоту каждого элемента бруса.

Геометрический смысл двойного интеграла - объем цилиндрического бруса.

Вычисление двойных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

1. D - прямоугольник ( a x b , c y d ) , тогда

f(x,y) dx dy = dxf(x,y) dy

При вычислении внутреннего интеграла по переменной у величина х рассматривается, как константа, а затем во внешнем интеграле как переменная интегрирования. Возможен обратный порядок интегрирования для х и у .

2. D - ограничивают две прямые | | оси Оу и две кривые (a x b , y1(x) yy2(x) )

Это область правильная в направлении Оу . (Коридор вдоль Оу.)

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dy } dx

3. D - ограничивают две прямые | | оси Ох и две кривые (c y d, x1(y)xx2(y) )

Это область правильная в направлении Оx.

f(x,y) dx dy = {f(x,y) dx } dy

4. D - произвольная фигура. Она разбивается прямыми | | осям на несколько правильных областей и по каждой из них вычисляется свой интеграл.

Пример 1. Изменить порядок интегрирования J = .

Пределы внешнего интеграла задают коридор || Oy. Надо перейти к коридору || Ox.

Решение.

1. D: 0 x 4 , x2/2 y 2x - Пределы интеграла означают неравенства.

2. D: x = 0, x = 4, y = x2/2, y = 2x - Переход к равенствам.

Они определяют линии, ограничивающие область D.

3. Находим их точки пересечения из решения систем уравнений

(4;8) ,(4;8) , (0;0)

Обозначим коридор || Oy пунктиром и строим кривые

y = x2/2, y = 2x , пересекающие коридор. Это перегородки.

4. Обозначим новый коридор || Oх пунктиром, 0 y 8 .

перейдем к обратным функциям : y = 2x x = y/2, y = x2/2 x =

5. D: 0 y 8 , y/2 x

Ответ. J =

Пример 2. Изменить порядок интегрирования J =

Решение.

1. D: 1 x 2 , x y 2x

2. D: x = 1, x = 2, y = x, y = 2x

3. Точки пересечения: (1;1), (1;2), (2;2), (2;4)

Движение вдоль коридора || Oy (1x 2) идет от прямой

y = x до прямой у = 2х . Движение вдоль коридора || Ox

начинается либо на прямой х = 1, либо на прямой y = 2x

и завершается соответственно на прямых y = x, x = 2.

Поэтому D приходится разделять на два коридора || Oх :

D = D1 + D2

4. D1 : 1 y 2 , 1 x y

5.

Ответ. J = +

Задачи для самостоятельного решения

Задание 1. Изменить порядок интегрирования

1) , 2) , 3) ,

4) , 5) , 6) ,

7) , 8) , 9) ,

10) , 11) , 12) ,

13) , 14) , 15)

Пример 3. Вычислить интеграл J = , где D: y = x , y = 2x , x = 2 .

Решение. Вычислим точки пересечения линий 2.

(2;2), (2;4), (0;0) Выберем коридор || Оу , его ширина 0 x 2 ,

а движение по коридору от y = x до y = 2x. D: 0 x 2, x y 2x . 5. J = Вычислим внутренний интеграл: J1 = x= x siny |x2x = x(sin 2x – sin x) J = . Проводим интегрирование по частям и получаем

J = cos 2 – cos 4 +1/4 sin4 – sin 2

Пример 4. Вычислить интеграл J = , где : y = 2 – x2 , y = -1 .

Решение. Вычислим точки пересечения линий 2. Построение рис. области D.

x2 = 3 (-;-1) , (;-1)

3. Выберем коридор || Оу, его ширина -x ,

а движение по коридору от y = -1 до y = 2 – x2.

4. D: -x , -1 y 2 – x2 , 5. J =

6. Вычислим внутренний интеграл: J1 == (½ x2y2 + xy )=

= ½ [x6 -4x4 -2x3 –4x2 +2x +4]. 7. J = ½ =

= ½ [ x7/7 - 4x5/5 – 2x4/4 – 4x3/3 + 2x2/2 + 4x ] =

Задачи для самостоятельного решения

Задание 2. Вычислить интегралы :

1) , где : y = x2 + 1 , x = 1 , x = 0 , y = 0 .

2) , где : y = x2 , y = - , x = 1 .

3) , где : y = x3, y = 3, x = 0.

4) , где : y = x , y = 2x , x = 2 .

5) , где : y = x2 – 2 , y = 2 .

6) , где : y = x2 , y = 2 – x2 , x ? 0 .

7) , где : y = p/4, y = p/2, x = 1, x = 2 .