ПРАКТИКУМ по теме «Тройной интеграл»

Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью f(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз.

m = lim f () DVi º = ( 1 )

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования и зависит также от выбранной системы координат.

Прямоугольные координаты - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a x b , c y d , p z q ) , тогда

J = f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz (2)

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы.

2. V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a x b , y1(x) y y2(x) , тогда

J =f(x,y,z)dx dy dz =dxdyf(x,y,z) dz =

= dxdyf(x,y,z) dz ( 3 )

При f(x,y,z) = 1 интеграл определяет объем бруса.

Пример 1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

z = 0, z = x2 + y2, y = x, y + x = 2, y = 0

Решение.

z = 0 (степень 1, нет y, z ) плоскость координатная xOy (низ)

z = x2 + y2 (степени 1, 2) параболоид вращения (верх)

y = x (степень 1, нет z) плоскость через Oz (стенка)

y + x = 2 (степень 1, нет z) плоскость || Oz (стенка)

y = 0 (степень 1, нет x, z ) плоскость координатная xOz (стенка)

V = dx dy dz = dxdydz , J1 = dz = x2 + y2

D: y = x , y + x = 2 , y = 0

Точки пересечения линий

(1;1),(2;0),(0;0)

Построение рис.

Выберем коридор || Оx, его ширина 0 y 1,

а движение по коридору от y = x до y + x = 2. D: 0 y 1, y x 2 – y

V = , J2 = = [y2x + x3/3] |y2 – y =

= 1/3 [ -7y3 + 12y2 – 12y + 8 ], V = 1/3[-7y3 + 12y2 – 12y + 8] dy =

= 1/3 [-7y4/4 + 12y3/3 – 12y2/2 + 8y] |01 = 17/12 куб. ед.

Пример 2. Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

z = 10x, z = 0, x2 + y2 = 4, y =, y = 0

Решение.

z = 0(степени1,нет y,x)плоскость координатная xOy (низ)

z = 10x (степени 1, нет у ) плоскость через Оу (верх)

x2 + y2 = 4 (степени 2, нет z ) круговой цилиндр || Oz (стенка)

y = или у2 = 3х (степени 1, 2, нет z)параболический цилиндр || Oz (стенка)

у = 0 (степени 1, нет х,z)плоскость координатная zOх(стенка)

V = dx dy dz = dxdydz , J1 = dz = 10x ,

D: x2 + y2 = 4 , у2 = 3х , у = 0

Точки пересечения линий

(2;0),(0;0),(1;)

Построение рис.

Выберем коридор || Оx, его ширина 0 y ,

а движение по коридору от у2 = 3х до x2 + y2 = 4,

D: 0 y , y2/3 x

V = , J2 = = 5 [ 4 – y2 – y4 /9 ],

V = 5[ 4 – y2 – y4 /9 ] dy = 5 [ 4y – y3/3 – y5/45 ] = куб.ед.

Задачи для самостоятельного решения

Найти объем тела, ограниченного поверхностями :

1) x + y + z = 8 , y = x , z = 0 , y = 3 ; 2) y = 6, y = , z = 0 , x + z = 3.

3) y = 6, y = , z = 0 , x + z = 3 ; 4) x2 + y2 = 8, x = , x = 0, z = 30y/11, z = 0.

5) x + y = 4, x = , z = 3x/5, z = 0 ; 6) x + y = 6, y = , z = 4y, z = 0.

Пример 3. Вычислить тройной интеграл

J = , где : y = x, y = 0, x = 1, z =, z = 0.

Решение.

y = x (степень 1, нет z) плоскость через Oz (стенка)

у = 0 (степени 1, нет х, z ) плоскость координатная zOх (стенка)

x = 1 (степень 1, нет y, z ) плоскость || yOz (стенка)

z = или z2 = xy (степень 2) сечения x = const, y = const – параболы (верх)

z = 0 (степени 1, нет y, x ) плоскость координатная xOy (низ)

J =(27 + 54y3) dx dy dz = (27 + 54y3) dxdydz , J1 = dz =

D: y = x, y = 0, x = 1

Точки пересечения линий

(0;0) , (1;0) , (1;1)

Построение рис. области D.

Выберем коридор || Оy, его ширина 0 x 1,

а движение по коридору от у = 0 до y = x D: 0 x 1, 0 y x

J = , J2 = = (7x2 + 6x4) ,

J = (7x2 + 6x4) dx = [ 7x3/3 + 6x5/5 ] |01 = 106/35

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить тройной интеграл

1) J = , где : y = 15x, y = 0, x = 1, z = xy, z = 0.

2) J = , где : z = 10y, x + y = 1, x = 0, y = 0, z = 0.

3) J = , где : y = 2x, y = 0, x = 2, z = xy, z = 0.

4) J = , где : x = 0, y = 1, y = x, z = 0, z = 1 .

5) J = , где : x + y + z = 1 , x ? 0 , y ? 0 , z ? 0.

6) J = , где : x = 0 , y = 0 , y = 2 , z = 2 , z = x2 .

7) J = , где : y = 4 , z = 4 – x2 .

8) J = , где : x + y + z = 2 , x + y – z = 0 , x = 0 , y = 0 .

Цилиндрические координаты - r, j, z .

Переход к ним : x = r cos j , y = r sin j , z = z , удобен, когда область D образует круг или криволинейный сектор: r = r1(j ) , r = r2(j ) , . Тогда

f(x,y,z) dv =rdrdjf*(r,j,z) dz = f*(r,j,z) dz ( 4 )

Здесь f*(r,j,z) = f(r cosj, r sinj, z) , z1* = z1(r cosj, r sinj) , z2* = z2(r cosj, r sinj) .

Пример 4. Вычислить тройной интеграл

J = , где : z = x2 + y2 , z = 2 - x2 - y2 .

Решение.

z = x2 + y2 (степени 1,2) параболоид вращения (низ)

z = 2 - x2 - y2 (степени 1,2) параболоид вращения (верх)

J =(y + x) dx dy dz = (y + x) dxdydz, J1 =dz =

= 2(1 – x2 – y2), D: линия пересечения двух параболоидов вращения

x2 + y2 = 1, z = 1; D: круг R=1, J = 2(y + x) (1 – x2 – y2) dxdy=

= {x = r cos j , y = r sin j} = 2 ,

J2 = = (r3/3 – r5/5) |01 = 2/15, но J = 0, т.к. = =0

Задачи для самостоятельного решения

Вычислить тройной интеграл

1) J = , где : z = 0 , z = 4 – x2 – y2 .

2) J = , где : z = 4 , z = x2 + y2

3) J = , где : z = 0, z = 5, x2 + y2 = 4

4) J = , где : x2 + y2 = 4, z2 + y2 = 4, x ? 0 , y ? 0, z ? 0 .

Сферические координаты - r, j, q .

Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

f(x,y,z) dv = f(r cosj sinq, r sinj sinq, r cosq) r2 sinq dr dj dq ( 5 )

Пример 5. Определить массу шара радиуса R с переменной плотностью = r .

Решение.

M = (x,y,z) dv = = 2 2 R4/4 = R4

Кафедра «Высшей Математики»