Преобразования плоских областей.
Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной системы координат хОу к криволинейной системе координат uOv , где элементу площади dxdy будут соответствовать элемент площади |J| dudv.
Якобиан J - коэффициент искажения плоскости. В полярной системе координат dxdy
r d
dr. Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x2 + y2 .
D – круг радиуса R 
f(x,y) dxdy = 
D – круговой сектор 
f(x,y) dx dy = 
D – криволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением
r = r(j ) ,
f(x,y) dx dy = 
D – криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями
r = r1(j ) , r = r2(j ) ,
f(x,y) dx dy = 
Пример 5.
Вычислить интеграл J =
, где 
: x2 + y2 = 2x . 
Решение.
1. x2 + y2 = 2x x2 – 2x + 1 + y2 = 1 (x – 1)2 + y2 = 1
Переход к каноническому уравнению
окружности, центр (1;0), R = 1.
Построение рис. области D.
2. J = { x = r cosj, y = r sinj } - переход к полярной
системе координат и построение полярного уравнения
x2 + y2 = 2x r2cos2j + r2sin2j = 2r cosj r = 2 cosj
3. Пределы изменения угла j находим из значения r в начале координат
r = 2 cos j = 0 j = 
/2 , - /2 
j /2 , кроме того, 
= r
4. J = 
. 5. Вычислим внутренний интеграл
J1 = 
= r3/3 
= 8/3 cos3j , J = 8/3
= 32/9
Задание 3. Вычислить интегралы :
1) 
, где: x2 + y2 = 9. 2)
, где : x2 + y2 = 4у
3) 
, где : x2 + y2 = 4 , x2 + y2 = 9 .
Кафедра «Высшей Математики»