Тройной интеграл. Задача о вычислении массы тела.

Имеем объем V заполненный массой с переменной плотностью r(x,y,z). Вычислим общую массу по всему объему методом интегральной суммы.

1. Операция разбиения. Разделим V на n элементарных объемов DV1, DV3,V3, .

2. Масса элементарного объема приближенно равна r() DVi .

3. Приближенное значение массы всего тела определяет интегральная сумма

m(n) = r() DVi ( 15)

4. В пределе, когда n ® ¥ и все DVi ® 0 , получаем точное решение задачи

m = lim r() DVi º

Опр. Тройным интегралом от функции трех переменных f(x,y,z) по объему V наз. предел интегральной суммы, полученной путем разбиения объема V на элементарные области. J = = ( 16 )

Физический смысл тройного интеграла – масса тела переменной плотности.