Криволинейный интеграл 2 рода.

Опр. Криволинейным интегралом 2-ого рода от функции f(x,y,z) вдоль пространственной кривой L наз. предел интегральной суммы , полученной в результате разбиения этой кривой на малые участки.

Интеграл 2-ого рода получается из интеграла 1-ого рода простой заменой ds на dx, dy, dz .

В конкретных задачах при прохождении контура L часто возникает необходимость вычислять интегралы по всем трем проекциям, причем, от разных функций. Поэтому в общем случае криволинейный интеграл 2-ого рода записывается в виде J = P(x,y,z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz Pdx + Qdy + Rdz

Дополнительная особенность : интеграл 2-ого рода меняет знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования

Pdx + Qdy + Rdz = - Pdx + Qdy + Rdz ( 7 )

Действительно, если x1 < x2 , то при движении x1x2 имеем x = x2 – x1 > 0 , а в случае x2x1 x = x1 – x2 < 0 , т.е.

Вычисление криволинейного интеграла 2 рода.

1) Кривая L задана через произвольный параметр t : x =(t), y = (t), z = (t), t1tt2 . Тогда, dx = `dt , dy = `dt , dz = `dt и имеем для плоской кривой

f(x,y) dx = f((t),(t))`(t) dt ( 8 )

или в общем случае Pdx + Qdy + Rdz =

=[P((t),(t),(t))(t)` + Q((t),(t),(t))`(t) + R((t),(t),(t))(t)`]dt

2) Плоская кривая L задана явным уравнением : y = y(x) на [a,b] . Тогда

f(x,y) dx = f(x, y(x)) dx ( 9 )

т.е.

Пр.2 J =y2dx + x2dy , где L – верхняя половина эллипса: x = a cos t , y = b sin t , проходимая по часовой стрелке.

Решение: dx = -a sin t dt , dy = b cos t dt , J =[b2sin2t (-a sin t) + a2cos2t b cost] dt = = ab [b sin3t – a cos3t] dt = 4/3 ab2

Пр.3 J = (x2 – y2)dx + xy dy , где L :

а) прямая от точки А(1;1) до B(2;4) ;

б) дуга параболы y = x2 от А до В ;

в) ломаная АСВ , где С(2;1).

Решение а): уравнение прямой АВ : (x – 1) / ( 2 – 1) = (y – 1) / (4 – 1) ? y = 3x – 2 ,

dy = 3 dx, J =[x2– (3x – 2)2+ 3x(3x – 2)] dx =(x2 + 6x – 4) dx = x3/3 +3x2 –4x|12 = 8/3.

Решение б):парабола y = x2, dy = 2x dx, J =[x2–x4+2x4] dx =(x3/3 + x5/5)|12 = - 8/15

Решение в): ломаная АСВ = АС + СВ

Прямая АС : у = 1, dy = 0 , J = (x2 – 12) dx = (x3/3 – x ) |12 = 4/3 .

Прямая СВ : x = 2, dx = 0 , J =2y dy = y2 |14 = 15 . J = 15 + 4/3 .

Пр. 4 Найти координаты центра тяжести дуги циклоиды x = t –sin t, y = 1 – cos t, o £ t £ p

Решение: Координаты центра тяжести однородной дуги кривой L вычисляются по формулам : xc = , yc = , где s – длина дуги. ( 10 )

Имеем (x`t)2 + (y`t)2 = (1 – cos t)2 + (sin t)2 = 2(1 – cos t) = 4 sin2(t/2) , тогда по ( 4 )

ds = 2 sin(t/2) dt и длина дуги s = ds = 2sin(t/2) dt = - 4 cos(t/2) |0p = 4

xc = = 2/4(t – sin t) sin(t/2) dt = 8/3

yc = = 2/4(1 – cos t) sin(t/2) dt = 4/3