Двойной интеграл.

В интегральной сумме двойного интеграла имеем элементы площади dxdy. В системе uOv ему будут соответствовать элементы площади |J| dudv , где коэффициент искажения плоскости J (якобин) определяется формулой

| J | = ( 8 )

После перехода к новой системе координат имеем

f(x,y) dx dy = f(x(u,v),y(u,v)) |J| du dv ( 9 )

В полярной системе координат переменные r , j имеют наглядный геометрический смысл – длина радиус-вектора и полярный угол.

( 10 )

Обратное преобразование : r = ,

j = arc tg (y/x) .

Вычислим якобиан перехода к полярной системе координат

J = = r ( 11 )

Применять переход к полярным координатам удобно в случаях, когда D является кругом с центром в начале координат или его сектором – круговым или криволинейным, а также, если в функцию f(x,y) переменные входят в виде x2 + y2 .

D – круг радиуса R f(x,y) dxdy = ( 12 )

D – круговой сектор f(x,y) dx dy =

D – криволинейный сектор, замкнутый одной линией с полярным уравнением

r = r(j ) ,

f(x,y) dx dy = ( 13 )

D – криволинейный сектор, замкнутый двумя линиями с полярными уравнениями

r = r1(j ) , r = r2(j ) ,

f(x,y) dx dy = ( 14 )

Пр. 1 Вычислить площадь круга.

Пр. 2 Вычислить площадь D , если ¶D : y = x , y = 0 , x = 1 .

Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение :

х = 1 ? r cos j = 1 ? r = 1 / cos j .

Углы сектора определяем из чертежа : 0 £ j £ p/4

S =dxdy = = ½ = ½ tgj |0j/4 = ½

Пр. 3 Вычислить площадь леминискаты (x2 + y2)2 = 2a2 (x2 – y2) .

Линия симметрична относительно осей, т.к. уравнение не меняется при замене x ® - x , y ® - y , пересекает ось Ох при

х = ±а и проходит через начало координат. S = 4dxdy . Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение : (r2cos2j + r2sin2j)2 = 2a2(r2cos2j - r2sin2j) ?

? r2 = 2a2 cos 2j ? r = a .

Углы сектора получаем из условий: r = а ? j1 = 0 ; r = a = 0 ? j2 = p/4 S = 4= 4a2 = 2a2

Пр. 4 Вычислить площадь D , если ¶D : (x2 + y2)2 = 2a x3

Линия симметрична относительно оси Ох, т.к. уравнение не

меняется при замене y ® - y, пересекает ось Ох при x = 0,

х = 2а и х ? 0. S = 2dxdy. Имеем криволинейный сектор. Строим полярное уравнение: r =2a cos3 j .Углы сектора получаем из условия: r = 2a cos3j = 0 ? j = ± p/2

S = 2= 4а2 = 5/8 p а2