Преобразования плоских областей.
Замена переменных в двойных интегралах связана с переходом от прямоугольной к криволинейной системам координат.
Имеем плоскость с прямоугольной системой координат хОу и систему непрерывных функций
u = u(x,y)
v = v(x,y) ( 6 )
Для каждой точке плоскости (xi,yi) получаем два числа (ui,vi) , которые можно понимать как координаты другой точки.
Выделим в xOy область D , ограниченную замкнутым контуром ¶D. Тогда, уравнения ( 1 ) относят точкам области D множество точек (ui,vi). Пусть такое множество образует на плоскости область D*, ограниченную замкнутым контуром ¶D*. Каждой точке из D отвечает своя точка из D* и ни одна из них не пропущена. В этом случае систему ( 1 ) можно однозначно разрешить относительно х и уx = x(u,v)
y = y(u,v) ( 7 )
и переменные u, v теперь играют роль новых координат. Прямые линии x = const, y = const наз. координатными в системе хОу , тогда искривленные линии u = const , v = const будут координатными в криволинейной системе uOv.
Таким образом, между областями D и D* устанавливается взаимно – однозначное соответствие. Уравнения ( 1 ) осуществляют преобразование области D в область D*, а уравнения ( 2 ) дают обратное преобразование. Области D и D* могут иметь разную форму и разные площади.