Вычисление интегралов.

Вычисление тройных интегралов сводится к вычислению повторных интегралов при детальном учете конфигурации области интегрирования.

Прямоугольные координаты - x, y, z .

1. V - прямоугольный параллепипед ( a x b , c y d , p z q ) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz ( 17 )

При вычислении внутренних интегралов оставшиеся переменные рассматриваются как константы.

2. V - цилиндрический брус, который ограничен двумя гладкими поверхностями z = z1(x,y) , z = z2(x,y) и его проекция на плоскость хОу образует правильную область D, например, a x b , y1(x) y y2(x) , тогда

f(x,y,z) dx dy dz = dxdyf(x,y,z) dz =

= dxdyf(x,y,z) dz ( 18 )

r = |ON| r = |OM|

j = (ON^Ox) j = (ON^Ox)

q = (OM^Oz)

Цилиндрические координаты - r, j, z .

Переход к ним : x = r cos j , y = r sin j , z = z , удобен, когда область D образует круг или криволинейный сектор: r = r1(j ) , r = r2(j ) , . Тогда

f(x,y,z) dv =rdrdjf*(r,j,z) dz = f*(r,j,z) dz ( 19 )

Здесь f*(r,j,z) = f(r cosj, r sinj, z) , z1* = z1(r cosj, r sinj) , z2* = z2(r cosj, r sinj) .

Сферические координаты - r, j, q .

Переход к ним : x = r cos j sin q , y = r sin j sin q , z = r cos q , удобен, когда V образует шар или его телесный угол. В случае шара x2 + y2 + z2 £ R2 пределы интегрирования: 0 £ j £ 2p , 0 £ q £ p , 0 £ r £ R.

f(x,y,z) dv = f(r cosj sinq, r sinj sinq, r cosq) r2 sinq dr dj dq ( 20 )

Пр.5 Вычислить J = z dv , где V: 0 £ x £ ½ , x £ y £ 2x , 0 £ z £ . J = dxdyz dz , J1 = z dz = ½ (1 – x2 – y2), J2 = ½(1 – x2 – y2)dy = ½ [(1-x2)y – y3] |x2x = = ½(x- x3), J = ½( x - x3)dx = 7/192

Пр.

= sin3q dq cos2j dj r4 dr

J1 = r4 dr = R5/5 ; J2 = cos2j dj = ½ (1 + cos2j) dj = p ;

J3 = sin3q dq = - (1 – cos2q) d(cosq) = 4/3 ; J =

Пр. 7 Вычислить J = zdx dy dz , где V ограничен цилиндром x2 + y2 = 2x и

плоскостями y = 0, z = 0, z = a .

Область D : x2 + y2 = 2x ? (x – 1)2 + y2 = 1 - окружность с центром в (1; 0) и R = 1. J = { x = r cos j, y = r sin j, z = z }. Строим полярное уравнение x2 + y2 = 2x ? r = 2 cos j .

Вычисляем пределы интегрирования из условий r = 2cos j = 0 , y = 0 ?

J = ; J1 = z dz = ½ a2 ; J2 = r2 dr = 8/3 cos3j ;

J3 = cos3j dj = (1 – sin2j) d(sinj) = [ sinj - 1/3 sin3j ] 0p/2 = 2/3

Кафедра «Высшей математики»

Опорные конспекты лекций.