Функциональные ряды.

Функциональный ряд в каждой фиксированной точке представляет собой числовой ряд.

Функциональный ряд сходится в точке , если . Это так называемая обычная или поточечная сходимость функционального ряда, заметим, что зависит не только от , как в числовых рядах, но и от z, поэтому ряд может сходиться с разной скоростью в различных точках z.

Критерий Коши (поточечной сходимости ряда). Для того чтобы функциональный ряд сходился в точке z, необходимо и достаточно, чтобы .

Множество точек z, в которых функциональный ряд сходится, называется областью сходимости функционального ряда.

Примеры

1. Ряд сходится на всей комплексной плоскости. Проверим это. Исследуем ряд из модулей . Так как это числовой знакоположительный ряд, применим к нему признак Даламбера. . Ряд абсолютно сходится во всей комплексной плоскости.

2. Ряд сходится только в точке . Проверьте это.

3. Ряд абсолютно сходится в круге , проверьте это по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши. На окружности ряд превращается в ряд из единиц, расходящийся, так как не выполняется необходимый признак сходимости ряда.

4. Ряд абсолютно сходится в круге , проверьте это по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши. На окружности ряд превращается в сходящийся ряд .

5. Ряд абсолютно сходится в круге , проверьте это по признаку Даламбера или радикальному признаку Коши. Исследуем сходимость на окружности в различных ее точках. В точке имеем расходящийся гармонический ряд. В точке имеем ряд .

Функциональный ряд сходится равномерно в области G если . Это – равномерная сходимость функционального ряда в области G, заметим, что зависит только от , как в числовых рядах, поэтому ряд сходится с одной и той же скоростью в различных точках z области G.

Критерий Коши (равномерной сходимости ряда). Для того чтобы функциональный ряд сходился равномерно в области G, необходимо и достаточно, чтобы .

Для равномерно сходящихся функциональных рядов функций комплексной переменной справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и почленном дифференцировании. Формулировки этих теорем и доказательства идентичны теоремам о равномерно сходящихся рядах функций действительного переменного. Разница лишь в различном понимании модуля действительного и комплексного числа и в том, что интегрирование проводится по кусочно-гладкой дуге..

Аналогично формулируется и доказывается и признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.

Признак Вейерштрасса. Пусть члены функционального ряда мажорируются членами сходящегося числового ряда в некоторой области . Тогда функциональный ряд сходится равномерно в области G.

Доказательство. Для сходящегося числового знакоположительного ряда выполнен критерий Коши: .

Так как (по свойствам сходящихся числовых рядов можно считать, что неравенство выполняется, начиная с первого номера, т.е. для всех n), поэтому для функционального ряда выполнен критерий Коши равномерной сходимости ряда:

Следовательно, функциональный ряд сходится равномерно в области G.