6.1. Постановка задачи

При решении практических задач часто нужно найти производные указанных порядков от функции , заданной таблично, либо, в силу сложности аналитического выражения функции f(x) непосредственное ее дифференцирование затруднено.

Для вывода формул приближенного дифференцирования исходную функцию f(x) заменяют на интересующем отрезке [a, b] интерполирующей функцией P(x), а затем полагают, что , при .

Аналогично поступают при нахождении производных высших порядков.

Если для интерполирующей функции P(x) известна погрешность , то погрешность производной выражается формулой , т.е.:

● Погрешность производной интерполирующей функции равна производной от погрешности этой функции.

То же самое справедливо и для производных высших порядков.

Следует отметить, что приближенное дифференцирование представляют собой операцию менее точную, чем интерполирование: близость друг к другу двух кривых и на отрезке [a, b] еще не гарантирует близости на этом отрезке их производных и , т.е. малого расхождения угловых коэффициентов касательных к рассматриваемым кривым при одинаковых значениях аргумента.

Как видно из рисунка, касательные, проведенные к графикам функций и в точке x_i, имеют разный угол наклона (тангенс угла наклона касательной равен производной функции в данной точке).