7.2. Збіжність за енергією

Припустимо, що деяка система під впливом зовнішнього зусилля, яке задається функцією , отримує зміщення .

, (7.5)

де , і - додатний оператор.

Величина пропорційна величині енергії, яку потрібно витратити, щоб надати системі зміщення . Тому, додатність оператора має таке фізичне тлумачення: неможливо надати системі яке-небудь зміщення без витрачання на це енергії. Вираз досить часто називають енергією.

Означення 7.6. Енергетичною нормою або нормою енергії функції називається .

Енергетична норма назначається . Таким чином, має місце запис

(7.6)

За міру близькості двох функцій береться корінь квадратний з енергії їх різниці, тобто

(7.7)

Розглянемо послідовність функцій , .

Означення 7.7. Послідовність функцій збігається за енергією до функції , якщо

Збіжність за енергією послідовності функцій до функції будемо записувати так:

Зауваження 7.2. Слід нагадати, що широке застосування мають рівномірна близькість функцій і близькість у середньому. У випадку рівномірної близькості а у випадку близькості у середньому

Теорема 7.1. Якщо оператор додатньо визначений і , то одночасно .

Доведення. Проведемо оцінки енергетичної норми, виходячи з рівності (7.6) і нерівності (7.4)

Звідки . В останній нерівності замінимо на і отримаємо .

Збіжність у середньому є окремим випадком збіжності за енергією. Дійсно, якщо взяти , то . Тоді .

Розглянемо скалярний добуток , де , а - додатний оператор.

Означення 7.7. Величина називається енергетичним добутком функцій та і позначається символом , тобто

. (7.8)

Енергетичний добуток (7.8) задовольняє всі властивості скалярного добутку, а саме:

1. (оператор - додатний, тому і симетричний);

2. , де , . Наведена властивість лінійності енергетичного добутку має місце тому, що оператор є лінійним оператором (див. означення 7.3 і 7.4);

3. ;

4. тоді і тільки тоді, коли . Оператор додатній, а з властивостей 3 і 4 якраз складається означення (7.4) додатності оператора.

Норма за енергією задовольняє всі властивості норми (в чому легко переконатися), зокрема має місце нерівність

,

яка є аналогом нерівності Коші-Буняковського і нерівність трикутника

.

Лінеал з енергетичним добутком (7.8) утворює лінійний простір з енергетичним добутком. Цей простір може бути і не повним за енергією. Додамо до лінеалу границі усіх фундаментальних в послідовностей з нормою . Тоді лінеал з енергетичним добутком буде утворювати повний за енергією лінійний простір.

Означення 7.8. Повний лінійний простір з енергетичним добутком (7.8) називається енергетичним простором додатного оператора . Позначимо його .