Вступ
Розділи 1-6 навчального посібника присвячені дослідженню на екстремум змінних величин однієї або кількох функцій. Такі величини називають функціоналами.
Приклад В.1. На площині задані дві точки 
і 
.
таким чином, щоб довжина цієї кривої була найменшою. Розв’язання. Як відомо з курсу математичного аналізу, довжина плоскої кривої, що з’єднує дві задані точки, знаходиться за формулою
. (В.1)
Вираз 
залежить саме від функції 
і є функціоналом. Очевидно, що розв’язком задачі є пряма лінія . Якщо взяти конкретні точки 
і 
та криві, які проходять через ці точки, а саме 
, 
, то безпосередньо можна знайти за формулою (В.1) значення функціонала . Маємо:
;
.
Площа деякої гладкої поверхні, що задається функцією 
, моменти інерції, статичні моменти, координати центра ваги кривої або поверхні також є функціоналами тому, що їх значення обчислюються за допомогою інтегралів, які, в свою чергу, залежать від вибору конкретної функції.
Задачі, в яких потрібно дослідити на екстремум функціонали, називаються варіаційними, а розділ математики, де розглядаються варіаційні задачі – варіаційним численням. Варіаційне числення перетворилося в самостійну математичну дисципліну завдяки фундаментальним працям дійсного члена Петербурзької академії наук Л. Ейлера. Першими задачами варіаційного числення були задачі про брахістохрону, геодезичні лінії та ізопериметричні задачі [1, 2, 5, 11], які будуть розглянуті у подальшому.
Задачі математичної фізики, теорії пружності, гідродинаміки та ін., як правило зводяться до звичайних диференціальних рівнянь, інтегральних рівнянь або до рівнянь у частинних похідних.
Для наближеного розв’язання варіаційних задач у більшості випадків застосовуються прямі методи. Прямими називаються такі методи наближеного розв’язання задач варіаційного числення, які зводять ці задачі до скінченних систем алгебраїчних рівнянь (методи Рітца, Бубнова-Гальоркіна, Канторовича).
У багатьох випадках задачу інтегрування цих рівнянь можна замінити рівносильною задачею на екстремум деякого функціонала, тобто варіаційною задачею. Так, наприклад, задача інтегрування рівнянь статичної теорії пружності, за деяких умов, зводиться до задачі розшуку мінімуму потенціальної енергії пружнього тіла. Методи, які дозволяють звести задачу інтегрування диференціальних та інтегральних рівнянь до рівносильної варіаційної задачі, називаються варіаційними методами. Найбільш поширеним варіаційним методом є енергетичний метод [6].
Саме питанням можливого застосування прямих та варіаційних методів присвячені розділи 7-9 навчального посібника.