7.1. Деякі відомості з теорії лінійних операторів

Означення 7.1. На деякій множині функцій () задано оператор , якщо наведено закон, за яким кожній функції з цієї множини поставлена у відповідність одна і тільки одна функція.

Область називається областю визначення оператора . Область змінювання оператора будемо позначати . Надалі будемо вважати область визначення лінійною. Лінійну множину називають лініалом.

Приклади лінійних множин функцій:

а) множина неперервних функцій;

б) множина багаточленів;

в) множина функцій, рівних нулю на границі області;

г) множина функцій, визначених на , інтеграли від квадратів яких існують.

Доведемо твердження г).

Нехай функції , . За умовою існують , . Очевидно, що існує . Доведемо, що існує . Маємо: , ,

.

Таким чином, . Тобто, лінійність множини функцій, інтегрованих квадратами, доведена.

Прикладом нелінійної множини функцій є множина обмежених функцій, а саме множина функцій , . Дійсно, якщо і , то .

Означення 7.2. Оператор називається лінійним, якщо він визначений на лініалі і для будь-яких функцій та будь-якої сталої виконуються рівності , .

Надалі будуть розглядатися лінійні оператори, але окрім цього на оператори накладаються деякі обмеження. Для диференціальних операторів ці обмеження такі: функції, які належать є неперервними в замкненій області, а значення оператора повинні мати скінчену норму. Якщо розглядається інтегральний оператор, то вважається, що функції, які входять в область визначення оператора () і в область змінювання () мають скінчену норму.

Приклад 7.1. Перевірити, чи входять в область визначення оператора , функції ,

Розв’язання.

Означення 7.3. Лінійний оператор називається симетричним, якщо виконується тотожність

. (7.1)

Приклад 7.2. Перевірити симетричність операторів , і , , .

Розв’язання. Очевидно, що оператори та лінійні.

;

, завдяки граничним умовам.

Таким чином, оператор не є симетричним, а оператор симетричний.

Означення 7.4. Симетричний оператор називається додатним, якщо , має місце нерівність

, (7.2)

причому рівність має місце лише тоді, коли .

Приклад 7.3. Перевірити, чи буде додатним оператор ,

, .

Розв’язання. Симетричність оператора доведено в прикладі 7.2.

Обчислимо .

Припустимо, що . Тоді , , . Але . Тому .

Таким чином, означення (7.4) виконується і наведений оператор додатний.

Приклад 7.4. Розглянемо рівняння Пуассона , де - точка двовимірної або тривимірної області , , функція , - границя області . Перевірити, чи буде оператор додатним у випадках:

а) (Задача Діріхлє);

б)

в) (задача Неймана).

Розв’язання. Для розв’язання задач прикладу 7.4 буде використовуватися перша формула Гріна [6]

.

а) .

Якщо , то і .

Звідки , але і тому . Виконується означення 7.4 і оператор додатний;

б) .

Якщо , то

З другого рівняння системи знаходимо, що і .

в) . Якщо , то і . Тобто, оператор не є додатним.

Як відомо з курсу математичної фізики задача Неймана не має розв'язків для довільної функції . Для існування розв'язку задачі Неймана необхідно, щоб . У цьому випадку задача Неймана має безліч розв'язків і всі вони відрізняються на довільну сталу. Довільну сталу можна вибрати таким чином, щоб розв'язок задовольняв умові

. (7.3)

За умови виконання рівності (7.3) оператор в задачі Неймана вже буде додатним так, як виконується ланцюжок перетворень: . Але стала величина, яка задовольняє умову (7.3) дорівнює тотожно нулю.

Означення 7.5. Симетричний оператор називається додатньо визначеним, якщо виконується нерівність

, (7.4)

де - додатна стала.

Приклад 7.5. Довести, що оператор є додатньо визначеним, якщо , .

Розв'язання. Лінійність оператора очевидна. Доведемо спочатку симетричність оператора . Маємо:

.

Симетричність оператора доведена. Доведено, що оператор додатно визначений. Для цього візьмемо і розглянемо .

Проведені оцінки мають місце тому, що для будь-яких значень , а функція і тому досягає свого найменшого значення. В даному випадку це . Таким чином, залишилося оцінити . Використовуючи нерівність Коші-Буняковського, проведемо такі перетворення:

.

Таким чином, . Зінтегруємо останню нерівність:

. Маємо і

. Отже нерівність (7.4) виконується і оператор є додано визначеним.

Зауваження 7.1. Аналогічно, використовуючи нерівності Фрідріхса і Пуанкаре [6] можна довести додатну визначеність оператора для задачі Діріхлє, Неймана (за умови використання рівності (7.3)) і мішаної.