6.3. Закони збереження
Розглянемо механічну систему з 
матеріальних точок, кожна з яких має масу 
, координати 
.
, кінетична енергія 
, 
- функція Лагранжа, 
- інтеграл дії. Введемо канонічні змінні (6.1). В нашому випадку:
,
- повна енергія системи.
Користуючись виглядом функції 
в інтегралі дії можна знайти ті чи інші функції, які зберігають стале значення вздовж траєкторій системи. Такі функції стають суттєвою складовою частиною законів збереження.
Розглянемо деякі з таких законів:
1. Закон збереження енергії. Припустимо, що функція Лагранжа не залежить явно від часу 
(потенціальна енергія 
не залежить від ). Відповідна система в цьому випадку називається консервативною. Функція 
(див.
2. Закон збереження імпульсу. Припустимо, що функція Лагранжа не змінюється при паралельному перенесенні координат, тобто при заміні 
на 
відповідно. Згідно теоремі Нетер (6.3), існує перший інтеграл системи рівнянь Ейлера.
Розглянемо перетворення
і запишемо варіацію функціонала дії:
.
Тому 
, або 
.
Аналогічно, якщо розглянути перетворення координат
та
отримаємо умови
, 
, відповідно.
Отримані рівності ( і т.п.) дають можливість записати закон збереження імпульсу: якщо інтеграл інваріантний відносно паралельного перенесення координат, то повний імпульс системи не змінюється з часом.
Розділ 7. Енергетичний метод