§ 8. О поведении траекторий в бесконечности

Поскольку прито при иссле­

довании поведения траекторий системы хищник — жертва при больших значениях численности жертвы вместо системы (2.1) можно рассматривать близкую к ней систему

Интеграл (8.1) имеет вид

Построив семейства кривых (8.2) на фазовой плоскости (рис.

Если прини одна из траекторий

не уходит в бесконечность, то при

такие траектории появляются. Содержательно этот резуль­тат можно интерпретировать следующим образом. Макси­мальная скорость прироста жертвы равна а, а хищника —

Рис. 18. Фазовыетраектории системы (8.1): а) при

б) прикуски траекторий при достаточно оолылих

х таких, что Е(х) « const, и система (8.1) близка к (2.1);----------------- то же

для малых х, когда систему (8.1) нельзя считать близкой к (2.1); ... трофическая функция V(x); она приведена на этом графике для того, чтобы показать, когда х можно считать большими.

;, І. Эти величины обычно называются биоти­

ческими потенциалами жертвы и хищника соответственно. Тогда, если биотический потенциал жертвы превосходит потенциал хищника, то при определенных начальных усло­виях численность популяции жертвы может неограниченно и монотонно возрастать — популяция жертвы как бы ус­кользает от хищника. Соответственно неограниченно и моно­тонно, но с меньшей скоростью растет и численность популя­ции хищника. Заметим, что такое «ускользание» жертвы от хищника хорошо известно в экологии (например, в попу­ляциях насекомых).

Если теперь сравнить условие «ускользания»

с условиями существования устойчивого предельного цикла

Рис. 19. Область «ускользания» при наличии предельного цикла.

то легко видеть, что области, определяемые этими неравен­ствами в плоскости параметров b и р = т/а, пересекаются (рис. 19). Наличие

такого пересечения с очевидностью говорит о существовании в системе по крайней мере второго предельного цикла (при­чем неустойчивого).

В заключение необ­ходимо уточнить, когда и в каком смысле можно говорить о близости си­стем (2.1) и (8.1) при больших х. Здесь естест­венно использовать по­нятия «грубости» (в смыс­ле Андронова — Понт­

рягина). Не останавливаясь на подробностях доказатель­ства, можно утверждать, что если в области