§ 9. Поведение системы хищник — жертва в случайной среде

Случайные изменения среды обычно приводят к случай­ным изменениям параметров системы, в частности, коэф­фициентов естественного прироста жертвы а и естественной смертности хищника т.

Пусть система хищник — жертва описывается уравне­ниями (3.1). Это означает, что в популяции жертв существу­ет саморегулирование (посредством внутривидовой конку­ренции), а в самой системе может существовать устойчивое нетривиальное равновесиеЛинеаризируя (3.1)

около этого состояния, получим

Легко видеть, что из условия Предположим, что параметр а/т, зависящий от коэффициен­тов естественного прироста жертв и естественной смертности хищников, можно представить в виде

где, — значение этого параметра в отсутствие слу­

чайных возмущений, а ,,некоторый случайный про­цесс, выбираемый не только по принципу простоты, но и в известной степени отражающий реальную ситуацию.

Пусть характерный временной масштаб процесса изме­нений внешних условий равен т₀. В течение этого проме­жутка можно считать условия среды постоянными. Зна­чение параметра а/т, характеризующего условия среды на данном отрезке, будем считать реализацией некоторой

случайнойвеличины, распределенной нормально со сред­ним(тогдаи дисперсией

На следующем отрезке значение а/т

также является реализацией этой случайной величины, при­чем эта реализация никаким образом не связана с реализа­цией на предыдущем отрезке. Тогда, если мы рассматриваем поведение системы на отрезке _то в качестве

статистической модели г(т) можно выбрать так называемый «дельта-коррелированный» гауссовский процесс с нулевым средним и корреляционной функцией

Здесь б — обозначение дельта-функции.

Нас будет интересовать поведение статистических харак­

теристик решения (9.2), в частности, динамика моментов (Здесь символ (...) означает операцию осреднения по ансамблю реализаций г). Но прежде, чем переходить к этой задаче, сделаем в (9.2) следу­

ющую замену переменных:

Если коэффициент внутривидовой конкуренции доста­точно мал, тоТогда вместо (9.2) будем

иметь

Не нарушая общности, начальные условия можно задать в виде

Применяя операцию осреднения к (9.3), получим

и для вторых моментов

с начальными условиями

Системы (9.4) и (9.5) не замкнуты относительно моментов, так как содержат новые неизвестные функции (ZPR), которые являются корреляциями случайной вели­чины Z с решениями системы (9.3) и с функциями от этих решений. А эти решения, в свою очередь, являются функ­ционалами от Z.

Приведем без вывода одну важную формулу из теории случайных ПППІІРГГПП-

Здесь [Z] — некоторый функционал от— его

вариационная производная,С,'_,—дельта-коррелирован­ный процесс сВ нашем случае

Тогда

Поскольку процесс дельта-коррелирован, то статисти­ческая зависимость P[Z] и 7?[Z] определяется зависимостью производных по времени этих величин от Z. Не останавли­ваясь на подробностях доказательства, можно записать

И окончательно, с учетом (9.7) и (9.8), системы уравнений (9.4) и (9.5) будут иметь вид

Если решение (9.9) совпадает с решением (9.3) при отсут­ствии СЛучаЙНЫХ флЮКТуаЦИЙ, ТО реШРНИР /О НИ тнрпжит растущие со временем члены (типа ехр

Возвращаясь к переменным par, можно сказать, что моментыбудут со временем возрастать, если

, или

Это означает, что при выполнении условия (9.11) в системе происходит статистическая параметрическая раскачка за счет флюктуаций условий среды, и устойчивое в отсутствие этих флюктуаций равновесие становится неустойчивым.

При малых v выражение (9.11) можно записать в виде

откуда сразу следует, что параметрическая раскачка может происходить не только при больших амплитудах флюктуа­ций, но, например, и при высоком репродуктивном потен­циале жертв или при малой естественной смертности хищ­ника. В классической модели (v = 0) параметрическая рас­качка всегда имеет место, т. е. можно сказать, что состояние равновесия в классической модели всегда статистически неустойчиво.