§ 7. Нелинейные колебания в системе хищник — жертва

Если предположить, что предельный цикл лежит в до­статочно малой окрестности стационарной точки, то воль- терровский цикл может быть заменен эллипсом. Тогда при малых е система (6.4) должна быть близка к линейной, а в качестве интеграла можно взять выражение

Используя (7.1), вместо (6.4) мы будем рассматривать си­стему

Для построения асимптотического решения (7.2) восполь­зуемся методом Крылова — Боголюбова.

можно получить уравнение для а — амплитуды колебаний по

Поскольку— медленно меняющаяся функция времени, то правая часть (7.3) без потери точности может быть осред- нена по фазе

поскольку

Так как мы рассматриваем колебания с малыми амплиту­дами, то подынтегральное выражение в (7.4) можно разло­жить в ряд по а, пренебрегая членами порядка а⁴ и выше.

Очевидно, что в системе существует предельный цикл, если где

причем для этого необходимо, чтобы 5а > т, т. е. жертвы размножались достаточно быстро, а естественная смерт­ность хищников была мала. Цикл устойчив при Ь> 1/2 и неустойчив при b < 1/2.

Если 0 < b < b_lt то периодические колебания в системе отсутствуют, так как а чисто мнимое, но существует стаци­онарное состояние с а[12] = 0 (из (7.5) следует, что при а — О Легко видеть, что это состояние устойчиво: