6 Исчисление бесконечно малых и больших

Исчисление бесконечно малых — вычисления, производимые с бесконечно малыми величинами, при которых производный результат рассматривается как бесконечная сумма бесконечно малых. Исчисление бесконечно малых величин является общим понятием для дифференциальных и интегральных исчислений, составляющих основу современной высшей математики.

Бесконечно малая

Последовательность an называется бесконечно малой, если . Например, последовательность чисел — бесконечно малая.

Функция называется бесконечно малой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно малой на бесконечности, если либо .

Также бесконечно малой является функция, представляющая собой разность функции и её предела, то есть если , то f(x) − a = α(x), .

Бесконечно большая величина

Последовательность an называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

Во всех случаях бесконечность справа от равенства подразумевается определённого знака (либо «плюс», либо «минус»). То есть, например, функция xsinx не является бесконечно большой при .

Свойства бесконечно малых и бесконечно больших

Сумма конечного числа бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малых — бесконечно малая.

Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную — бесконечно малая. Как следствие, произведение бесконечно малой на константу — бесконечно малая.

Если an — бесконечно малая последовательность, сохраняющая знак, то — бесконечно большая последовательность.

Сравнение бесконечно малых величин

Как сравнивать бесконечно малые величины? Отношение бесконечно малых величин образует так называемое неопределённость .

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не суть важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если , то бесконечно малая величина β будет более высокого порядка (малости), чем α. Обозначают β = o(α).

Если , то бесконечно малая величина β будет более низкого порядка (малости), чем α. Соответственно α = o(β).

Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малые величины являются одного порядка. Это обозначается как β = O(α).

Если , то бесконечно малые величины называются эквивалентными, и пишется .

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры

при , так как

, то есть 2x2 + 6x и x при являются бесконечно малыми величинами одного порядка (хоть и не эквивалентны, так как ).