3.2 Векторный критерий

Все частные показатели делятся на две группы: монотонно «убывающие» (масса, стоимость и т^) и монотонно «возрастающие» (пропускная способность, вероятность безотказной работы и т^)

При формировании критерия Q рекомендуется:

выбирать минимальное число наиболее важных частных критериев qi, i = 1,., к;

вектор Q должен с достаточной точностью характеризовать качество проектируемого узла или системы;

показатели qi должны иметь ясный смысл и характеризовать простые свойствa.

Обычно при решении задач оптимального проектирования все qi приводятся к стандартному виду, т.е. они должны удовлетворять условиям: 1) qi > 0 ; 2) чем меньше qi, тем лучше; 3) у идеальной системы qi ^ 0.

Для сокращения размерности вектора Q отдельные показатели могут рассматриваться в виде ограничений.

Многокритериальность в задачах принятия проектных решений может рассматриваться в следующих аспектах:

непосредственно в смысле векторного критерия с k частными показателями (см. (8));

как результаты работы отдельных экспертов по скалярному критерию q, т.е. пусть r(j,i), j = !,•••,m; i = 1,...,n нормированные ранги, выставленные m экспертами n вариантам, тогда для варианта ui можно рассматривать m -вектор показателей

(24)

Qэ (Ui ) = (r(1,i), r(2,i),...,r(m,i));

3) результаты оценок вариантов различными методами при скалярном критерии q в условиях, вы-полненных ЛПР, в этом случае

(25)

qM (ui)=(q1 (ui), q2 (ui , •——, qi, (U)),

где qj(ui), j = 1,к,ц - значения показателей варианта ui, полученные различными методами; ц - число

используемых методов;

4) для сравнения значений q(i, s) на множестве ситуаций S .

Во всех рассмотренных случаях оптимальный вариант и* обычно определяется на основе «компромисса» между частными показателями.

метод оптимизации по Парето;

способы «свертки» векторного критерия в скалярный;

способ выделения наиболее важного частного показателя в качестве основного и наложение ограничений на остальные показатели.

Многокритериальные задачи принятия проектного решения с использованием метода оптимизации по Парето обычно решаются в два этапа. На первом этапе формируется подмножество Vп Парето-опти- мальных вариантов. На втором этапе применяется один из способов сведения векторного критерия Q в скалярный q , после чего используются методы для скалярных критериев.

Для задач ВПВ (см. (3)) второй этап зависит от соотношения между мощностями множеств Vп (получается в результате первого этапа) и V0 (задается условиями задачи). Если |vп| = |V0|, то второго этапа

не требуется и V0 = Vп. Если |vп| > |V0|, то выполняются работы второго этапа с вариантами и е Vп. Если же |V п| < |V0|, то расчеты начинаются с первого этапа для элементов ие V\ ^ с целью выделения подмножества вариантов V0, для которого V0| = Vo| -|vп|.

Рассмотрим формирование подмножества Парето-оптимальных вариантов Vп на примере работы одного эксперта при ранжировании вариантов раздельно по всем частным критериям qj, j = 1,.,k (см.

(8)), в результате такого ранжирования получается матрица рангов

здесь r(j,i) - ранг i-го варианта по j-му показателю.

Предполагается, что чем меньше ранг, тем вариант лучше. Тогда из двух вариантов ui и uv, характе-ризующихся столбцами матрицы R

r

r (1, i г Г r (1, v)^ (2, i) и r (2, v) (к, i > чr (к, v> вариант ui считается предпочтительнее (ui f uv), если для всех j = 1,...,к , выполняется условие r(j,i) меньше или равно r (j, v), причем хотя бы по одному частному критерию строго r (j, i )< r (j, v).

В случае, когда по отдельным частным критериям предпочтительнее вариант ui, а по другим - uv, варианты ui и uv считаются равнозначными или эквивалентными относительно векторного критерия Q, равнозначность вариантов обозначается ui ~ uv.

Вариант и* считается оптимальным, если он предпочтительнее по отношению к остальным n -1 вариантам, и оптимальным по Парето, если для него нет предпочтительных вариантов.

Сопоставляются варианты u и и2. Если uj ~ и2, то переходят к сравнению u с и3. Если u f и2, то вариант u2 исключается из дальнейшего рассмотрения. Если же u2 f u1, то из рассмотрения исключается u1 .

Аналогично вариант u1 попарно сопоставляется с остальными вариантами u3,...,un. Все варианты ui, для которых имеет место ui p u1 исключаются из дальнейшего анализа.

В результате сравнений варианта u1 с другими вариантами ui, i = 2,., n первый вариант либо включается в подмножество Vп (если имеются варианты ui p u1), либо нет, если имеется вариант ui f u1. Если же имеет место u1 f ui, i = 2,., n, то u1 является оптимальным вариантом u*.

Таким же образом производится попарное сравнение второго варианта (если u2 ~ u1 или u2 f u1) с оставшимися ui, i = 3,.,n и т.д.

Аналогично подмножество Vп формируется и для других случаев. В задачах на максимум, когда qj играют роль эффективностей, вариант ui предпочтительнее uv (ui f uv), если для всех j = 1,m выполняется условие q(j, i) > q(j, v), причем хотя бы по одному частному критерию q(j, i) > q(j, v).

Естественно, что при формировании Vп все частные показатели должны быть ориентированы или только на максимум (эффективность), или только на минимум (затраты, ранги и т.д.).

Пример 2. Рассмотрим оптимизацию по Парето для исходных данных, содержащихся в примере 1 (табл. 3). Здесь роль частных показателей ( q ) играют мнения четырех экспертов (к = m = 4) при ранжировании шести вариантов (n = 6>. Результаты сопоставления нормированных рангов первого варианта (u1) с остальными показывает, что u1 предпочтительнее каждого из остальных вариантов ui,i = 2,...,6, т.е. является оптимальным.

3 Результаты сопоставления варианта u1 u1 и u2 u1 и u3 u1 и u4 u1 и u5 u1 и U6 1,5 < 3 1,5 ~ 1,5 1,5 < 5 1,5 ~ 1,5 1,5 < 6

1,5 < 3,5 1,5 < 3,5 1,5 < 5 1,5 < 6 1,5 < 6 1,5 ~ 1,5 1,5 < 4,5 1,5 < 3 1,5 < 4,5 1,5 < 6 1,5 ~ 1,5 1,5 < 4 1,5 < 4 1,5 < 6 1,5 < 4 Если для дальнейшего исследования требуется отобрать три-четыре варианта, то формируется множество Парето-оптимальных вариантов из оставшихся пяти.

Результаты сопоставления вариантов и2 с иi,i = 3 ...

4 Результаты сопоставления варианта и2 U2 и U3 U2 и U4 U2 и U5 U2 и U6 3 > 1,5 3 < 5 3 < 4 3 < 6 3,5 ~ 3,5 3,5 < 5 3,5 > 1,5 3,5 < 6 1,5 < 4,5 1,5 < 3 1,5 < 4,5 1,5 < 6 1,5 < 4 1,5 < 4 1,5 < 6 1,5 < 4 Сравнение вариантов и3 с и5

и3 и и5 1,5 < 4 3,5 > 1,5 4,5 ~ 4,5 4 < 6

показывает, что они эквивалентны.

Таким образом, сопоставлением рангов для вариантов ui, i = 2,...,6 выделено три варианта U2, и3, и5, для которых нет предпочтительных, эти варианты образуют подмножество Парето-оптимальных, т.е. ип

= {и2 , U3, и5 } .

Для «свертывания» векторного критерия на втором этапе решения многокритериальных задач обычно используются «аддитивный» и «мультипликативный» способы.

При «аддитивном» способе свертывание производится путем сложения значений частных показателей с соответствующими весами. Так как обычно частные критерии имеют различную физическую природу и в соответствии с этим - различную размерность, то при образовании обобщенного критерия оперируют не с «натуральными» критериями, а с их нормированными значениями. Нормирование частных показателей производится путем отношения «натурального» критерия к некоторой нормирующей величине, измеряемой в тех же единицах, что и сам критерий.

Обычно применяется три подхода к выбору нормирующего делителя. В соответствии с первым подходом в качестве нормирующего делителя принимаются некоторые директивные значения параметров.

Второй подход предполагает выбор в качестве нормирующих делителей максимальных значений критериев, достигаемых в соответствующих областях.

При третьем подходе в качестве нормирующих делителей выбирают разность между максимальным и минимальным значениями критерия в области компромисса.

Выбор подхода к формированию безразмерной формы частных критериев в значительной степени носит субъективный характер и должен быть обоснован в каждом конкретном случае.

Таким образом, расчет аддитивного критерия для варианта ui производится по формуле

9v(ui )

k

qa (Ui )=z Cv qvPi, (27)

v=1 qv1 (ui)

здесь cv - весовой коэффициент v -го частного критерия; )(ui) - v -й нормирующий делитель.

Введение весовых коэффициентов cv должно учитывать различную значимость частных показателей при формировании аддитивного критерия.

Аддитивный критерий имеет ряд недостатков, главный из них состоит в том, что критерий qa не вытекает из объективной роли частных показателей и выступает как формальный математический при-ем, придающий задаче удобный для решения вид. Другой недостаток заключается в том, что в критерии qa может происходить взаимная компенсация частных критериев. Это значит, что значительное уменьшение одного из критериев вплоть до нулевого значения может быть покрыто возрастанием другого критерия. Для ослабления этого недостатка вводят ограничения на минимальные значения частных критериев и их весовых коэффициентов.

«Мультипликативный» способ предполагает перемножение частных критериев, т.е.

qм (U ) = nqv(u ). (28)

v=1

В случае неравноценности частных показателей вводятся весовые коэффициенты cv и мультипликативный критерий принимает вид

m

qм (и )=П qvcv (и). (29)

v=1

Достоинством мультипликативного критерия является то, что при его использовании не требуется нормировка частных показателей. К недостаткам критерия относятся: критерий компенсирует недостаточную величину одного частного показателя избыточной величиной другого и имеет тенденцию сглаживать уровни частных критериев за счет неравнозначных первоначальных значений критериев.

Таким образом, задача «свертывания» векторного критерия Q в скалярный qa или qu является достаточно сложной и не имеет однозначного решения.