3.3 Метод парных сравнений

Пусть сравниваются два варианта и , uh из множества V и вариант и по заданным критериям предпочтительнее варианта uh. Это будем обозначать иp f uh.

В ходе экспертизы каждый эксперт заполняет таблицу, в нее он заносит результаты парных сравнений, образующие n х n - матрицу

Z =|\г(h, p)|

где

nxn 1

1, если uh предпочтительнее иp (uh f иp)

г (h, p ) =

0, если uh Р и , -, если uh = и .

Для j-го эксперта матрицу Z будем обозначать Z (j). Общий вид матрицы Z (j), характеризующей результаты парных сравнений, представлен в виде табл. 5.

Например, для четырех вариантов (n = 4) заполненная одним экспертом табл. 5 может иметь вид, представленный табл. 6, ей соответствует матрица Z , равная

Z=

- 1 0 1 0 - 0 1 11 - 0 001-

5 Матрица парных сравнений j-го эксперта Номера вариан-тов U1 и2 и Р Un - г(1,2;У ) г (1, Р; j ) г (1, n;j) U2 г(2,1; j) - г (2, Р; j) г (2, n;j) Uh г (h,1;j ) г(h,2;j) г (h, p;j) г (h, n;j) Un г(пД; j) гfo2; j) г(n, р; j) 6 Пример заполненной матрицы парных сравнений одним экспертом Номера вариантов и1 и2 и3 и4 - 1 0 1 U2 0 - 0 1

U3 1 1 - 0 U4 0 0 1 - Элементы данной матрицы означают, что эксперт при сравнении вариантов и и и2 отдал предпочтение первому варианту (uj f и2), поэтому z(1,2) = 1, при сравнении uj с и3 - третьему (uj p U3) и z (1,3) = 0, при сравнении U1 с и 4 - первому и z(l, 4) = 1 и т.д. Матрицы Z (j) обладают следующими свойствами:

по главной диагонали стоят знаки «-» (прочерк);

если элемент z(h, p) = 1, то z (h, p) = 0;

так как число парных сравнений вариантов равно числу сочетаний из n по 2, т.е.

C(2/n) = n -(n -1)/2,

то матрица Z содержит C (2/ n) единиц и C (2/ n) нулей.

Третье свойство используется для проверки правильности заполнения матрицы экспертом, т.е.

XI z (h, p ) = n(n -1) 2.

q=1 p=1

Эксперту рекомендуется следующий порядок заполнения Z (j).

Сначала следует попарно сравнивать вариант и1 с и2, ..., un, т.е.

При сравнении вариантов uh и иp по векторному критерию необходимо учитывать важность показателей и число показателей, по которым uh превосходит иp .

В результате работы m экспертов заполняется m таблиц Z(j), j = 1,2,...,m парных сравнений. Обработка результатов экспертизы начинается с объединения этих таблиц в одну обобщенную табл. 7, содержащую ( n x n ) - матрицу

Г = | |g (h, p )||

элементы которой получаются суммированием соответствующих значений матриц Z (j), т. е.

m

g (h, p )=Iz(h, p;j).

j=1

Дополнительно табл. 7 содержит столбец X1 и строку X2. Элементы (Я1,..., Hn) столбца X1 равны суммам элементов строк матрицы Г, т.е.

Hh = X g (h, p ),

p=1

а элементы Р1,...,Pn строки X2 равны суммам элементов столбцов матрицы Г, т.е.

Pp = X g (h, p ).

h=1

Матрица Г и компоненты табл. 7 должны удовлетворять следующим свойствам.

Сумма элементов матрицы Г равна

nn

X3 =X Ig(h,p) = mC(2/n) = mn(n-1)2.

h=1 p=1

При полном согласии мнений экспертов в C(2/n) ячейках g(h, p) = m, в остальных g(h, p) = 0 .

При минимальном согласии каждая ячейка табл. 7 содержит g = m/2, если m-четное, и g = (m +1)/2 или g = (m -1)2, если m - нечетное.

Сумма из элементов i-го столбца и i-ой строки постоянна для всех i, т.е.

I g (h, i )+X g (i, p ) = const, i = 1,2,..., n

h=1 p=1

или H + P = H2 + P2 = ... = Hn + Pn .

5 Суммы элементов векторов X1 = (Н1,...,Н„) и I2 = (P1,...,Pn) равны, т.е.

nn

I Hh =X Pp =I 3.

h=1 p=1

С помощью табл. 5 и табл. 7 вычисляется средняя частота предпочтения каждого варианта каждым экспертом и средний ранг фактора, полученный от всех экспертов.

Пример 3. В качестве примера рассмотрим случай парных сравнений для n = 4 и m = 3 .

8 Матрица парных сравнений 1-го эксперта ( j = 1) Номера вариантов U1 U2 U3 U4 f (h;1) w(h;1) U1 - 1 0 1 2 1/3 U2 0 - 0 1 1 1/6 U3 1 1 - 0 2 1/3 U4 0 0 1 - 1 1/6 9 Матрица парных сравнений 2-го эксперта ( j = 2 ) Номера вариантов U1 U2 U3 U4 f (h;2) w(h;2) U1 - 0 0 1 1 1/6 U2 1 - 1 1 3 1/2 U3 1 0 - 0 2 1/6 U4 0 0 1 - 1 1/6 10 Матрица парных сравнений 3-го эксперта ( j = 3 )

Номера вариантов U1 U 2 U3 U 4 f (h;3) w(h;3) U1 - 0 0 0 0 0 U2 1 - 0 0 1 1/6 U3 1 1 - 0 2 1/3 U4 1 1 1 - 3 1/2

В этих таблицах содержатся также значения частот (чисел) предпочтения варианта uh j-м экспертом f (h; j) и нормированных частот предпочтения варианта uh j-м экспертом w(h; j), которые рассчитываются по формулам

f (h; j ) = Z ^ (h, p; j),

p=i

w(h; j ) = CM,

С (2/ n )

n

причем Z w(h; j ) = 1,

h=l

т.е. нормирование заключается в делении частот f (h; j) на число сравнений С {—1 = ———.

V n ) 2

По существу f(h;j), q = 1,...,n есть суммы элементов строк матрицы Z(j). В рассматриваемом примере для первого эксперта f (h; j), h = 1,..,4 равны

f (l;l) = z(l,2;l) + z(l,3;l) + z(l,4;l) = 1 + 0 +1 = 2 ;

f(2;l) = 0 + 0 +1 = 1; f(3;l) = 1 +1 + 0 = 2; f(4;l) = 0 + 0 +1 = 1 и т.д.

w(l;l) = f (l;l)/ С (2/4 ) = 2 = 3;

w(2;l) = -1; w(3;l) = -1; w(4;l) =1 и т.д.

6 3 6

Обобщенная матрица Г для рассматриваемого примера содержится в табл. 11. Здесь выполнены все свойства матрицы Г, т.е.

4 4

Z 3 = 3 • 4 • -(4 -1) = 18; Z g (h,i ) + Z g (i, p)= 9 для i = 1,2,3,4

i =1 p=1

и Z Hh=Z pp=18.

q=1 p=l

11 Обобщенная матрица для n = 4 и m =3 Номера вариан-тов U1 U2 U3 U4 Zl w(h) ul - 1 0 2 Hj = 3 1/6 U2 2 - 1 2 H 2 = 5 5/18 U3 3 2 - 0 H 3 = 5 5/18 и4 1 1 3 - H 4 = 5 5/18

12 P = 6 P2 = 4 P3 = 4 P4 = 4 13 = 18 Последний столбец табл. 11 содержит значения нормированных средних частот (рейтингов) w(h), h = 1,...,n с учетом мнения всех экспертов, которые вычисляются по формуле

m

SW(h; j) 1 m

w(h) =—= = —I w(h; j).

mm m 4 J '

Hw(h; j) mh=

j=1 h=1

В нашем примере

I w(1; j)

,(1) = -^ = 7 13 + ^ + 0 , = I« 0,17.

зз (1/3 + 1/6 + 0 +16 +1/2 +...) 6

IIw(h;j)

j=1 h=1

w(2)= 16 + V2 + V6 = А и 0,27, 3 18

w(3)= V3 + V6 + V3 = А и 0,27, 3 18

16 + 1/6 +1/2 5

w(4) = - — = — « 0,27.

3 18

Заметим, что частоты w(h), h = 1,.,n можно рассчитывать также непосредственно по табл.

w(h)= Hh

I3-

Чем больше значение w(h), тем предпочтительнее вариант uh.

При последующей обработке табл. 7 преобразуется в таблицу, где варианты располагаются в порядке убывания значений Hh. При равенстве значений Hh на первое место ставится вариант uh, в строке мат-рицы Г которого содержится g(max) и нет нулей, на 2-е место с g(max) и нулями, на 3-е без g(max) и т.д. Покажем это на примере преобразований табл. 11 в табл. 12.

Здесь на первом месте записан четвертый вариант, так как и4 содержит g (max) = 3 и в строке нет

нулей. Далее вариант и3 с g (max) и одним нулем, затем и2 с двумя g = 2 и, наконец, и с g = 2 и нулем.

12 Преобразованная обобщенная матрица с n = 4 и m = 3 Номера Средние час вариан- U4 U3 U2 U1 тоты w(h) тов U4 - 3 1 1 5/18 U3 0 - 2 3 5/18 U2 2 1 - 2 5/18 Ul 2 0 1 - 1/6 Таким образом, в табл. 12 варианты располагаются в порядке предпочтения по результатам опроса экспертов, отмеченное преобразование позволяет разделить варианты даже с одинаковыми рангами.

Далее при обработке анкет рассчитывается коэффициент согласия Wп, характеризующий насколько согласованы мнения экспертов при парных сравнениях. Расчет Wjj производится по формулам

W =¦ 4S

п m(m - l)n(n -1)'

S = ZZC (2/ g (i, j )),

i=1 j=1

где С(2/g(i, j)) - число сочетаний из g(i, j) по 2, здесь g(i, j) - элемент матрицы Г в табл. 7 (табл. 11 или табл. 12), при этом

если g(i, j)< 2,

С (2/ g (i, j )) =

если g(i, j)= 2,

g(g - J) , еслиg(i, j)> 2.

Например, для табл. 11 имеем

g (1,4) = g (2,1) = g (2,4) = g (3,2) = 2 и С (2/ g (1,4)) = С (2/ g (2,l)) = С (2/ g (2,4)) = С (2/ g (3,2 )) = 1,

g (3,1) = g (4,3) = 3 и С (2/ g (3,1)) = С (2/ g (4,3)) = ^ = 3

для остальных g(i, j) С(2/g(i, j)) = 0 . В результате получаем

S = ZZC(2/g(i, j)) = 1X 4 + 3x 2 + 0x 12 = 10 :

i=1 j=l

= —440— = 5 и 0,55.

• -+ •

Коэффициент Wп может находиться в пределах от Wjj (min) (при минимальном согласии экспертов) до 1 (полное согласие), т.е.

Значение Wп (min) рассчитывается из соотношения

m -1

если m нечетное,

Wп (min) =

2m m - 2

если m четное.

2(m -1)

В нашем примере m = 3 и

3 -1 1

Wп (min ) = = -« 0,33.

пЧ ' 2 • 3 3

Таким образом, Wп = 0,55 принадлежит интервалу [0,33; 1].

Оценка значимости коэффициента Wjj , т.е. существенно ли он отличается от Wjj (min), при больших m и n производится с использованием критерия «Хи - квадрат» ( %2).

Для этого рассчитывается оценка критерия по результатам экспертизы

m - 2

S - 0,5C(2/n) C(2/m)

m - 3 m-2

-2 4

х2 =

и число степеней свободы

v.C(2/n)^ .

(m - 2)

Значение %2 сравнивается с табличным % 2 (v, а), определяемым по числу v и уровню значимости а (обычно 100 а, % = 1% или 100 а,% = 5% (табл. 13). Более полная таблица значений %2 (v,а) дана в табл. 1.П.1.

13 Значения %т (v, а) Число степеней Уровень значимости свободы, v 100 а = 1% 100 а = 5% 2 9,21 5,99 4 13,28 9,49 6 16,81 12,59 8 20,09 15,51 10 23,21 18,31 12 26,23 21,03 14 29,14 23,69 16 32 26,30 Если XX2 >%2(v,а), то гипотеза о значимости Wjj (согласованности мнений экспертов) принимается, в противном случае (XX2 < или =%2(v,а)) - отвергается.

Для m, равном от 3 до 6, и n, равном от 2 до 8, построены специальные таблицы, в которых даны вероятности Р того, что величина S будет достигнута или превышена при случайной ранжировке для m = 3 (табл. 14).

14 Число экспертов m = 3 n 3 n 4 n 5 S P S P S P 3 1 6 1 10 1 5 0,578 8 0,822 12 0,944 7 0,156 10 0,466 14 0,756 9 0,016 12 0,169 16 0,474 - - 14 0,038 18 0,224 - - 16 0,0046 20 0,078 - - - - 22 0,020 - - - - 24 0,0035 В нашем примере m = 3, n = 4, S = 10, для этих данных при случайной ранжировке величина S может иметь место или превышена с вероятностью P = 0,466 или а = 0,534 (табл. 14), поэтому коэффициент Wп значимым признать нельзя. Для 100а = 5 % необходимо S > 14 .