5.3. Алгебраические критерии устойчивости. Критерий Гурвица

Алгебраические критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости и неустойчивости системы непосредственно по коэффициентам характеристического полинома без вычисления его корней.

Предварительно определим необходимое условие устойчивости.

Предположим, что характеристический полином замкнутой системы имеет вид

. (5.3)

Необходимым, но недостаточным условием устойчивости САУ является положительность всех коэффициентов характеристического полинома замкнутой САУ .

Доказательство. Предположим, что все корни характеристического полинома известны и имеют отрицательную вещественную часть . Тогда (5.3) можно разложить на сомножители

. (5.4)

Произведение пары комплексных корней равно

.

После перемножения всех скобок в (5.4) получим в уравнении только положительные коэффициенты. Но так как положительные коэффициенты получаются и при положительных вещественных частях комплексных корней, то в общем случае, положительность коэффициентов уравнения (5.3) недостаточна для устойчивости системы в целом. Хотя все вещественные корни при положительности коэффициентов уравнения будут обязательно отрицательными.

Только при необходимые условия являются и достаточными условиями устойчивости.

Критерий устойчивости Гурвица (без доказательства).

Для устойчивости линейных систем необходимо и достаточно, чтобы при положительности всех коэффициентов характеристического полинома все главных определителей матрицы Гурвица были положительны.

Матица Гурвица обозначена буквой «» и имеет вид

Условие положительности главных определителей

Гурвициана

(5.5)

Рассмотрим подробней характеристический полином первого порядка, ,

, тогда , то есть .

Для характеристического полинома второго порядка, ,

, тогда , то есть

Очевидно, что для достаточно, чтобы .

Для характеристического полинома третьего порядка, ,

Размерность Гурвициана , ,

Для характеристического полинома четвертого порядка, ,

.

матрица Гурвица имеет вид

,

И так далее.

Из структуры построения определителей Гурвица следует, что

, т.е. достаточно, чтобы

Замечание.

§ Система находится на границе устойчивости, если

§ Система находится на границе апериодической устойчивости, если .

§ Система находится на границе колебательной устойчивости, если характеристический полином содержит пару чисто мнимых корней, чаще всего .

§ Система находится на границе апериодической устойчивости, если характеристический полином содержит бесконечный корень. Действительно, если всё уравнение (5.3) разделить на , то получим

.

Откуда видно, что при имеем , а значит .

Рассмотрим пример. Передаточная функция разомкнутой части системы имеет вид

.

Характеристический полином замкнутой системы соответственно будет

.

Коэффициенты его положительны. Условие устойчивости по критерию Гурвица (5.5) получат вид

или .

Границы устойчивости

1.

2.

3. .

Эти три границы устойчивости можно изобразить графически в пространстве параметров и найти области устойчивости системы.

Определим вначале область устойчивости системы по одному параметру (общий коэффициент усиления разомкнутой части). Пространство параметров здесь одна прямая линия, а границы устойчивости – точки на ней: и , как представлено на рис.5.5.

Рис.5.5. Область устойчивости по параметру

Те же границы устойчивости можно построить на плоскости двух параметров, например: . Первая граница лежит на оси , как показано на рис.5.6. вторая граница имеет вид гиперболы с асимптотами, и . Третья граница совпадает с осью .

Рис.5.6. Область устойчивости по параметрам

Как видно из рис.5.6, при увеличении постоянных времени область устойчивости сужается. Отрицательно влияет на устойчивость также и увеличение коэффициента усиления . При любых заданиях и существует свое граничное значение коэффициента усиления , после которого система становится неустойчивой. Это является важным обстоятельством, так как для повышения точности работы системы, необходимо увеличивать добротность системы, то есть . Тут выявляется противоречие между требованиями точности и устойчивости.