20.Дифференциал функции и его геометрический смысл. Инвариантность формы дифференциала 1-го порядка. Понятие о дифференциальных уравнениях. Общее и частное решения

Понятие дифференциала и его геометрический смысл

Пусть функция определена на промежутке и дифференцируема в окрестности точки ,тогда или по теореме о связи бесконечно малых с пределами функций имеем , где - бесконечно малая величина при .

Отсюда:

. ( 7.1)

Таким образом, приращение функции состоит из двух слагаемых:

1) - линейного относительно , т.к. ;

2) - нелинейного относительно , т.к. .

Определение. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение независимой переменной:

( 7.2)

Пример. Найти приращение функции при и :

Решение. ,

Пример. Найти дифференциал функции .

Решение. По формуле (7.2.) имеем .

Определение. Дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной:

( 7.3)

Тогда формулу (7.2) для дифференциала функции можно записать в виде:

( 7.4)

Откуда , поэтому можно рассматривать не только как символическое обозначение производной, но и как обычную дробь с числителем и знаменателем .

Геометрический смысл. На графике функции (рис. 7.1.) возьмем произвольную точку .

Дадим аргументу приращение , тогда функция получает приращение . В точке проведем касательную, образующую угол с осью . Из треугольника : . Из имеем: . Таким образом, и соответствует формуле (7.1).

Следовательно, с геометрической точки зрения дифференциал функции есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда получает приращение .

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной.

1)	4)
2)	5)
3)

Инвариантность формы дифференциала

Если , то из (7.4) имеем .

Рассмотрим сложную функцию , где .

Если функции и дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции равна .

Умножим обе части равенства на : . Таким образом, .

Это равенство означает, что формула дифференциала не изменится, если вместо функции от независимой переменной рассматривать функцию от зависимой переменной . Это свойство дифференциала получило название инвариантности (т.е. неизменности) формы дифференциала.