7.1. Решение краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка методом конечных разностей.
Рассмотрим двухточечную краевую задачу для линейного дифференциального уравнения. Найти решение уравнения
(41)
с дополнительными краевыми условиями
(42)
где числа 
считаются известными и
,
то есть одна из величин не равна нулю.
Коэффициенты 
являются непрерывными функциями на некотором отрезке 
. Решением этого уравнения является некоторая непрерывная на функция 
, имеющая первую и вторую производные на , удовлетворяющая исходному уравнению и дополнительным краевым условиям.
Поставленная краевая задача решается с помощью перехода от исходной задачи к новой, записанной в конечно-разностной форме. Тогда решение новой задачи будет являться приближенным решением исходной задачи. В силу того, что первая и вторая производные, входящие в уравнение и в краевые условия, будут заменены приближенными конечно-разностными формулами, решения с применением метода конечных разностей получается не в виде непрерывной функции 
, а виде таблицы ее значений в отдельных точках (Рис.12). Для этого разобьем на 
частей так, чтобы 
.
в точках 
. Для того, чтобы перейти от исходной задачи к конечно-разностной, надо получить формулы для представления первой и второй производных в конечно-разностном виде. Они получаются, если применить разложение функции в окрестности 
некоторой точки 
в ряд Тейлора, ограничиваясь вторыми производными: 
.
Складываем эти ряды и получаем выражение второй производной в конечно-разностной форме:
.
Аналогично получим формулу для первой производной, если вычтем ряды:
.
Обозначим: 
. 
.
С учетом введенных обозначений запишем исходное уравнение для узловых точек 
:
, 
(43)
Представим
;
;
в конечно-разностной форме, тогда к системе (43) добавляется еще два уравнения, соответствующие краевым условиям:
(44)
(45)
Получили систему линейных алгебраических уравнений (43) – (45) с неизвестными 
. Решив эту систему любым известным методом, получим приближенное решение для исходной задачи.
Заметим, что система представляет собой систему с разряженной матрицей, имеющей трехдиагональный вид. Поэтому, для решения системы применяют специальные методы, позволяющие оперировать только с элементами матрицы, отличными от нуля. Одним из таких методов является метод прогонки.