12. Св-ва собств.чисел (вещественность) и собств.ф-ций (ортогональность) симметричного ядра.

В теории ИУ-й с сим.ядрами делается ещё 1 допущение по ср-ю с теорией Ф: компл. ядро = сопряжённому

Ядро K(x,S) наз.

Теорема 1: Все собств.зн-я сим.ядра вещественны.

Док-во: Р-м однородное ИУ с сим.ядром при l, = собств. зн-ю.

Согласно симметричности ядра K(x,S)

? перешли к сопряжённым вел-нам д/пар-ра l.

Выполняется только д/вещественных чисел. ЧТД #.

2 ф-ции f(x) и j(x) наз. ортогональными на пр-ке [a;b], если выполняется рав-во: [от а до b] òf(x)j(x)dx=0.

Введем обозначение: скалярное пр-е ф-ций

Теорема 2: Если ядро K(x,t) симметрично, то собств. ф-ции j₀(x) и j₁(x) этого ядра, отвечающие 2м разным собственным знач-ям l₀ и l₁, ортогональны.

Док-во: Р-м однородное ИУ д/j₀(x):

Выр-е в [], на основании, что j₁(x) явл.собственной ф-цией, б.= j₁(t)/l₁

что явл. усл-ем ортогональности собственных ф-ций #