О ТОМ, ЧТО ГЕОМЕТРЫ,ПО-ВИДИМОМУ, НЕ ВСЕГДА ХОРОШО ПОНИМАЮТ РАЗЛИЧИЕ МЕЖДУ ОПРЕДЕЛЕНИЕМ СЛОВ И ОПРЕДЕЛЕНИЕМ ВЕЩЕЙ

Несмотря иа то что нет таких авторов, которые пользовались бы определениями слов лучше, чем гео-метры, я считаю своей обязанностью отметить, что они не всегда обращают внимание на различие, существующее между определениями веТцей и определениями слов.

Так, в толкованиях Клавня иа Евклида можпо видеть долгий и очень жаркий спор между ним и Пеллетье 14 относительно пространства, заключенного между касательной и окружпостыо. Пеллетье утверждал, что опо не является углом, Клавпй же считал, что это угол. Разве пе ясно, что всему этому спору можно было положить конец одппм словом, спроспв у того п другого, что они подразумевают под «углом».

Мы видим также, что Симон Стевин, знаменитый математик принца Оранского 15, определив число следующим образом: Число есть то, посредством чего выражается количество всякой вещи, гневно обрушивается па тех, кто не признает единицу числом, п доходит даже до риторических восклицаний, как если бы это был чрезвычайно серьезный спор. Правда, оп затрагивает в своем рассуждении довольно важный вопрос: относится ли единица к числу так, как точка к линии? Но этот вопрос надо было рассматривать отдельно, чтобы не смешивать две совершенно разные вещи. И, разбирая по отдельности два вопроса: является ли единица числом и относится ли единица к числу так, как точка к липли,— в отношении первого надо было сказать, что это всего только спор о слове и что единица является или пе является числом в зависимости от того, из какого определения числа мы исходим. Если определить его, как у Евклида: Число есть множество, составленное из единиц16,— то очсвпдпо, что единица пе число; но поскольку это определение Евклида произвольно и никому не возбраняется определять имя «число» иначе, ему можно дать и такое определение, какое приводит Стевин.

Часть имеет ту же природу, что и целое.

Единица есть часть множества единиц.

Следовательно, единица имеет ту же природу, что и множество единиц, и, таким образом, она является числом.

Это доказательство не имеет никакой силы. Даже если бы часть всегда была той же природы, что и целое, отсюда не следовало бы, что она всегда должна носить то же имя, что и целое; наоборот, очень часто бывает, что опа посит другое имя. Солдат есть часть армии, но он не есть армия. Компата есть часть дома, по не дом. Половина круга не есть круг. Часть квадрата не есть квадрат. Следом вательно, Стевин доказывает, самое большее, что единица, составляя часть мпожества единиц, имеет нечто общее со всем множеством едипиц и поэтому можно сказать, что опи одной природы; но он не доказывает, что мы должпы пазывать именем «число» и единицу, и множество еди-ниц,— ведь можно при желании сохранить это имя лишь за множеством едипиц, а единице дать только ее собственное имя единицы, или части числа.

Не имеет силы и второй довод Стевина:

Если из данного числа пе вычитают никакого другого числа, то данное число остается неизменным.

Следовательно, если бы единица не была числом, то, вычитая из трех один, мы оставляли бы данное число неизменным, что явно нелепо.

Но большая посылка здесь смешна: она предполагает то, что требуется доказать. Ибо Евклид отрицал бы, что данное число остается неизменным, если из него не вычитают никакого другого числа, поскольку для того, чтобы число не осталось прежним, достаточно вычесть пз него или число, или часть числа, такую, как единица. И если бы это доказательство было правильным, мы точно так же доказали бы, что, отнимая от данного круга

Ид.

Таким образом, все доводы Стевина доказывают, самое большее, следующее: «число» можно определить так, что это слово будет относиться и к единице* поскольку между единицей и множеством единиц существует достаточное соответствие, чтобы их можно было обозначить одним именем; но они вовсе не доказывают, что нельзя определить имя «число», сузив его значение до множества единиц, дабы не исключать единицу всякий раз, когда говорят о свойствах, присущих всем числам, кроме единицы.

Но второй вопрос — относится ли едпппца к другим числам так, как точка к линии, иного рода, нежели первый: это спор не о слове, а о вещи. Ибо неверно, что единица относится к числу, как точка к линии: ведь единица, прибавляемая к числу, делает его большим, тогда как точка, прибавляемая к линии, отнюдь пе делает ее большей. Единица является частью числа, точка же не является частью линии. Если от числа отнять едипицу, данное число не останется пеизменным; если от линии отнять точку, данная линия останется без изменения.

Стевин очепь часто ведет подобные споры об определениях слов. Так, например, он с жаром доказывает, что число не является раздельным (discrete) количеством; что пропорция чисел всегда арифметическая, а пе геометрическая; что любой корень из какого угодно числа есть число, Это показывает, что ои, в сущности, не уяснил, что такое определение слова, и принимал определения слов, каковые не могут оспариваться, за определения вещей, каковые передко можно справедливо оспаривать.