D. СПОСОБ ИЗЛОЖЕНИЯ
Итак, в то время как в первом случае преобладает рассмотрение цело&го и развитие состоит именно в постепенном разветвлении и подразделении этого целого, во втором - господствует сцепление друг с другом особенно&го, и каждая замкнутая в себе развивающаяся последовательность, в свою очередь, оказывается лишь звеном в следующем сцеплении.
И это различие в методах определяется самими их названиями, ибо в философии исходным является именно единство идеи, особенное же оказывается выводимым; в математике же, напротив. Исходным является особенное, а идея есть за&ключительное, она есть то, к чему стремятся; именно этим обусловлен про&тивоположный характер их развертывания.- Поскольку как математика, так и философия являются на&уками в самом строгом смысле, то их методы должны иметь не&что общее, а именно то, что придает им научный характер. Мы приписываем изложению научность тогда, когда читатель, с од&ной стороны, приводится изложением к необходимости принятия каждой отдельной истины, а с другой стороны, всегда находится в положении, когда он в каждом месте рассуждения в состоянии предвидеть направление дальнейшего движения вперед21".
Необходимость первого требования, а именно научности, признает каждый. Что же касается второго требования, то это все еще такой пункт, на который большинство математиков не обращают должного внимания. Часто встречаются доказательства, в которых, - если предварительно не приведена [формулировка] теоремы, - вначале совершенно не видно, ку&да это доказательство должно привести, и в которых вы, двигаясь некото&рое время вслепую и наугад, не успеваете и глазом моргнуть, как вдруг оказываетесь при доказываемой истине.
Такое доказательство с точки зрения строгости, возможно, и не оставляет желать лучшего, тем не ме&нее, оно не является научным, - оно не удовлетворяет второму требова&нию - обозримости. Тот, кто следует за таким доказательством, не дости&гает свободного овладения истиной, а остается - если только позже само&стоятельно не составит себе общего представления [о доказательстве] - в полной зависимости от того специфического способа, каким данная исти&на была найдена. И это чувство несвободы, которое в подобном случае возникает, по крайней мере, во время восприятия [материала], является в высшей степени удручающим для всякого, кто привык мыслить свободно и самостоятельно, а все воспринимаемое усваивать самостоятельно и жи&во. Если же читатель в любом месте рассуждения находится в положении человека, который видит, куда он идет, то он владеет предметом и уже не связан конкретной формой изложения, и усвоение становится подлинным сотворчеством.15. На каждом этапе изложения характер его продолжения существенно зависит от руководящей идеи, которая является ли&бо не чем иным, как некоторой аналогией с уже знакомой и из&вестной отраслью знания, либо же - и это наилучший случай - представляет собой прямое предвосхищение искомой истины.
Аналогия, апеллирующая к родственной области, есть только вспо&могательное средство, - если только дело не идет о том, чтобы всесто&ронне раскрыть взаимоотношение с родственной ветвью и таким обра&зом установить далеко идущую аналогию с этой ветвью[115]. Предчувствие кажется чуждым области чистой науки, особенно математической. Одна&ко совсем без него невозможно открытие новых истин; к открытию нель&зя придти путем слепого комбинирования известных результатов. Что ы как надлежит комбинировать - это должно определяться руководящей идеей, идея же эта, в свою очередь, - до того, как она будет реализована самой наукой, - может выступать лишь в форме предчувствия. Поэтому такое предчувствие для научной области есть нечто незаменимое.
А именно предчувствие, если оно верно, - это схватывание всего процесса рассуждения, ведущего к новой истине, - схватывание, которое еще не расчленяет рассуждение на части [моменты], поэтому вначале выступает как смутная догадка. Выделение этих моментов включает в себя одновре&менно и открытие истины и критическую оценку соответствующей до&гадки22*.16. Поэтому научное изложение есть по своей сути взаимо&действие двух взаимопроникающих процессов рассуждения, один из которых последовательно ведет от истины к истине и образу&ет подлинное содержание, а другой управляет самим методом и определяет форму.
В математике издавна сложился обычай - и образец здесь дал сам Ев&клид - явно выражать только один из процессов рассуждения - тот, кото&рый составляет содержание в собственном смысле, предоставляя читателю вычитывать другой между строк. Однако сколь совершенными ни были бы организация и изложение первого из процессов, тому, кто только начинает постигать науку, одного этого процесса недостаточно для того, чтобы он в любом месте рассуждения мог составить представление о целом и быть в состоянии самостоятельно и свободно продвигаться вперед. Наоборот, для этого необходимо, чтобы читатель был по возможности поставлен в поло&жение того, кто открывает истину, находясь в самых благоприятных усло&виях. Но тот, кто совершает открытие истины, делает это, постоянно имея в виду общий ход рассуждения; в нем совершается особый мыслительный процесс, касающийся того пути, по которому надлежит двигаться, и той идеи, которая лежит в основе целого. Этот мыслительный процесс состав&ляет подлинное ядро и душу его деятельности, в то время как последова&тельное развертывание истин представляет собой только воплощение этой идеи.
Требовать от читателя, чтобы он, не руководствуясь такого рода мыс&лительным процессом, тем не менее самостоятельно прошел весь путь от&крытия, означает ставить его выше того, кто открыл данную истину, и та&ким образом переворачивать отношение между ним и автором, в результа&те чего само авторское сочинение оказывается излишним.
Поэтому-то ма&тематики, более близкие к нашему времени, и особенно французы, начали соединять оба названных процесса. Притягательная сила, которую благода&ря этому приобрели их труды, состоит в том, что читатель чувствует себя свободно, он не втискивается в формы, которыми не владеет и которым он поэтому вынужден рабски следовать.То, что в математике эти процессы расходятся резче всего, обусловле&но особенностями ее метода (№ 13); поскольку последний заключается в со&пряжении особенного, а единство идеи для нее не находится на первом мес&те. Поэтому второй из двух названных процессов по своему характеру пол&ностью противоположен первому и их взаимопроникновение оказывается более трудным, чем в какой-либо другой науке. Из-за этой трудности, одна&ко, вовсе не нужно, как это часто бывает у немецких математиков, отказы&ваться от этой процедуры и отбрасывать ее.
В предполагаемом труде я поэтому и вступил на описанный выше путь, который в случае новой науки мне кажется тем более необходимым, что благодаря ему будет пролит свет на заключенную в ней идею.