ПРЕДИСЛОВИЕ К СОЧИНЕНИЮ 1844 ГОДА1" 

Если труд, который я предлагаю вниманию публики, я опре&деляю как разработку новой математической дисциплины, то оп&равдание этого утверждения должно заключаться в самом этом труде.

Первый толчок мне дало рассмотрение отрицательной вели&чины в геометрии; я привык смотреть на отрезки АВ и В А как на величины противоположные; но отсюда получалось, что, если точки А, Ву С лежат на одной прямой, то всегда должно быть верно, что АВ + ВС = АС, независимо от того, одинаково напра&влены отрезки АВ и ВСу или же они имеют противоположные на&правления, то есть С лежит между А и В. В последнем же случае [отрезки] АВ и ВС рассматривались не просто как длины, но с ка&ждым из них было связано свое направление, в силу чего они и были противоположны друг другу. Это вынуждало различать суммы длин [отрезков] и суммы таких отрезков, с которыми, кроме длины, связано и их направление. Отсюда вытекало тре&бование того, чтобы понятие суммы было применимо не только к тому случаю, когда данные отрезки имеют противоположное направление, но и к любому другому случаю. Этого проще всего добиться, полагая, что закон А В + ВС = АС сохраняет силу и для точек А у By Су не лежащих на одной прямой.

Таков был первый шаг к некоторому анализу, приведшему впоследствии к новой ветви математики, которая здесь представ&лена. Я и не подозревал тогда, какая плодотворная и богатая об&ласть открылась передо мною; напротив, результат этот понача&лу не казался мне заслуживающим внимания - до тех пор, пока я не связал его с одной родственной идеей.

А именно, вникая в понятие произведения, как его рассматри&вал мой отец[116], я обнаружил, что не только в случае прямоуголь&ника можно рассматривать произведение двух прилегающих друг к другу его сторон, - так же можно смотреть и на параллело&грамм, правда, если считать его не просто произведением длин [сторон], но двух направленных отрезков.

Вот эта-то согласованность и натолкнула меня на мысль, что здесь открывается совершенно новая область анализа, которая может привести к важным результатам. Долгое время, однако, я не возвращался к этой идее: погрузился в свои профессиональные дела; кроме того, меня поначалу обескуражил тот странный ре&зультат, что хотя для произведения нового вида сохраняли свою силу все прочие законы привычного умножения, в частности ка&сающиеся его отношения к сложению, оказалось, что сомножите&ли можно менять местами лишь при том условии, что одновре&менно меняются на противоположные их знаки (знак + заменяет&ся на знак и наоборот).

Изучение теории приливов и отливов, которой я потом занял&ся, побудило меня обратиться к «Аналитической механике» Jla- гранжа[117]*, и это вернуло меня к идее нового анализа. Все выклад&ки Лагранжа, коль скоро применить к ним принципы моего ана&лиза, упрощаются настолько, что вычисления зачастую становят&ся более чем в десять раз короче.

Все это воодушевило меня и я решил применить новый анализ к трудной теории приливов и отливов3*. Для этого надо было раз&вить много новых понятий и облечь их в одежды нового анализа; в частности, понятие поворота привело меня к анализу углов, три&гонометрических функций и т.д.2 И я радовался тому, что благо&даря созданному таким образом и разработанному далее анализу очень сложные и несимметричные формулы, лежащие в основе этой теории[118], не только превращаются в высшей степени про&стые и симметричные формулы, но и способ обращения с ними идет рука об руку с соответствующим понятием.

В самом деле, я мог с легкостью облекать в слова любую фор&мулу, которая получалась в ходе рассуждений, и выражать с ее помощью конкретный закон - но не только это: каждый переход от одной формулы к другой непосредственно оказывался симво&лическим выражением параллельно идущего понятийного дока&зательства - доказательства с помощью понятий.

Этот успех вселил в меня надежду, что в новом анализе я на&шел единственно адекватный метод приложения математики к познанию природы - метод, руководствуясь которым можно так&же заниматься вопросами геометрии, когда усилия направлены на получение богатых обобщающих результатов[120]. Поэтому у меня созрело решение сделать целью своей жизни разработку, изложе&ние и применение этого анализа. Посвятив этому вопросу все свое свободное время, я постепенно натолкнулся на пробелы, которые остались при прежней несистематической его разработке. В част&ности, выяснилось, что при принятом мною подходе и его моди&фикациях - как я изложил его в своем труде - сумму нескольких точек можно рассматривать как центр тяжести, произведение двух точек - как соединяющий их отрезок, произведение трех то&чек - как расположенную между ними площадь (плоскость) [Flachenraum], а произведение четырех точек - как определяемое ими тело [Kdrperraum] (пирамиду).

Трактовка центра тяжести как суммы побудила меня сопоста&вить [полученные результаты] с барицентрическим исчислением Мёбиуса[121]*, труд которого я знал только по названию; к немалой своей радости я нашел там такое же понятие суммирования то&чек, как и то, к которому меня привел ход моих размышлений; это был первый и, как показало последующее развитие, единст&венный пункт соприкосновения нового анализа с другим, уже из&вестным. Но поскольку в труде Мёбиуса совсем не встречается понятие произведения точек - понятие, с которого только и начи&нается развертывание нового анализа, так как оно соотносится с понятием суммы, - постольку для решения своей задачи с этой стороны я не мог ожидать дальнейших импульсов.

Когда я приступил к систематической разработке результа&тов, полученных на описанном пути, - разработке, к которой я не мог привлечь ни одно предложение, доказанное в какой-либо дру&гой ветви математики, - выяснилось, что открытый мною анализ не относится, как мне поначалу казалось, лишь к области геоме&трии, и я скоро увидел, что здесь у меня возникает новая область науки, для которой сама геометрия представляет собой только сферу ее приложения.

Мне давно уже было ясно, что геометрию нельзя рассматри&вать как ветвь математики в том же смысле, в каком ее ветвями являются арифметика и учение о комбинациях; что, в отличие от них геометрия относится к тому, что укоренено в природе (а именно, к пространству) и что поэтому должна существовать та&кая ветвь математики, в которой чисто абстрактным способом строятся законы, подобные тем, которые в геометрии относятся к пространству7*.

Существенное преимущество [новой науки] - с точки зрения формы, - заключалось в том, что теперь совершенно утратили свое значение все основные законы, выражающие пространст&венные представления, в силу чего и исходные положения [новой науки] стали такими же непосредственными, как и основные за&коны арифметики, а по своему содержанию более не ограничен&ными тремя измерениями. Благодаря этому они проявились во всей их непосредственности и всеобщности, предстали в сущест&венной их взаимосвязи, а многие закономерности, которых либо вообще нет в случае трех измерений, либо же они присутствуют там в скрытом виде, при такого рода обобщенном взгляде высту&пили на свет с полной ясностью.

Впрочем, ход исследования, если ввести надлежащие опреде&ления - их можно найти в данном труде, - показал, что точку пе&ресечения двух линий, линию пересечения двух плоскостей и точ&ку пересечения трех плоскостей можно рассматривать как произ&ведение соответствующих линий или плоскостей[122], а это приводит к очень простой и общей теории кривых[123].

Затем я перешел к разработке и обоснованию материала, пред&назначенного для второй части данного труда[124]*; в ней я изложу все, что предполагает понятие поворота или угла. Поскольку же эта за&вершающая весь данный труд вторая часть должна выйти из печа&ти позже, мне кажется необходимым очертить целое, несколько точнее обрисовав соответствующие результаты. Для этого я сна&чала приведу выводы, которые были получены еще до системати&ческой разработки [вопроса]. А именно я показал, почему произве&дение двух отрезков можно рассматривать как параллелограмм; как вообще [в этом анализе] учитывается направление отрезков; и как благодаря этому сомножители произведения можно менять местами, принимая при этом во внимание, что произведение двух равнонаправленных отрезков очевидным образом равняется нулю.

А именно, если один из отрезков ортогонально проектирует&ся на другой, то арифметическое произведение этой проекции и отрезка, на который производится проектирование, выступает в точности как произведение исходных отрезков при условии, что имеет место мультипликативное отношение умножения к сложе&нию. Однако это последнее произведение было совершенно дру&гого рода, чем первое, поскольку сомножители последнего мож&но было произвольно менять местами, без изменения знаков, а произведение двух взаимно перпендикулярых [ортогональных] отрезков есть нуль. Я назвал первое произведение внешним а вто&рое - внутренним, поскольку первое имеет место, когда направ&ления отрезков расходятся, а второе - только когда они сближа&ются, то есть частично покрывают один другой9*. Понятие внут&реннего произведения, которое представлялось мне необходи&мым [еще] при проработке «Аналитической механики», вместе с тем приводит к понятию абсолютной длины[125].

Как раз на этом пути, уже при работе              С

над теорией приливов и отливов, у меня получились геометрические экспоненци&альные величины; именно, если а - отре&зок (имеющий фиксированное направле&ние), а а - угол (на фиксированной плос&кости поворота), то по чисто внутренним основаниям (изложение которых завело              d

бы меня слишком далеко) получается, что

а.еаУ где е можно рассматривать как осно- вание натуральной системы логарифмов,

означает отрезок, возникающий из а в результате поворота на угол а; это значит, что а.еа есть отрезок а, который повернут на угол а. Если, далее, cos а, где а есть угол в геометрическом смысле, представляет собой то же, что и cos а, где а - относящаяся к данному углу дуга, определенная соответствующим радиусом; тогда из упомянутого понятия экспоненциальной величины сле&дует, что[126]

а . -а

е 4-е

cos а =              .

2

Равным образом, если sin а представляет величину, перемножен&ную с отрезком, то поворачиваемая сторона угла а меняет свое направление на 90° и одновременно подобным же образом ее аб&солютная длина изменяется так же, как и sin а; таким образом,

а -а Є —е

sin а =              ,

2

что приводит к уравнению cos а + sin а = еа;

все [эти] равенства отличаются бросающейся в глаза аналогией с известными мнимыми выражениями.

До сих пор это были понятия, полученные ранее.

а              и

ных отрезков и стал понимать под —, где а и Ъ являются разно-

Ъ

направленными отрезками равной длины, такую величину, кото&рая каждый отрезок на одной и той же плоскости поворачивает на угол Ьа (в направлении от b к а), так что и в самом деле, как и

должно было быть, —Ь = а\ а отсюда непосредственно возникает Ъ

и соответствующее понятие для случая, когда а и Ъ имеют разную длину. Первоначальное же простое понятие тогда становится ис&точником ряда интересных соотношений.

Прежде всего сразу получается некий новый вид умножения, соответствующий делению, - такой вид умножения, который от&личается от всех прежних тем, что если один из его сомножите&лей равен нулю, то в нуль обращается и их произведение, и при этом сомножители сохраняют свойство перестановочности; коро&че говоря, такое умножение по всем своим законам остается ана&логичным привычному арифметическому умножению. Понятие о таком умножении легко получается, когда я последовательно пе&ремножаю некий отрезок и различные частные; тогда частное может заменять упомянутые сомножители, последовательно ум&ножавшиеся [на данный отрезок]. Поскольку же согласно приня&той дефиниции, если ab означает угол между двумя отрезками одинаковой длины, то

ab Ь е =

а

и мы получаем

log— = ab. а

Далее, если угол ab есть w-тая часть от [угла] ас, то

так что если отрезок т раз подвергнуть последовательно повороту b              с

— ^ то его общий поворот составит _. Таким образом, если угол а'              а

ab составляет половину угла ас, то с

— = — и, стало быть. а) а

В частности, если — есть поворот, равный прямому углу, и, зна- а

с

чит, — есть поворот, равный двум прямым углам, то, поскольку а

с =-а и, стало быть, — = -1, получается, что — = л/-Т; это озна-

а              а

чает, что              умноженный на отрезок, изменяет его направле&

ние на 90° в некоторую, всегда определенную, сторону.

Это красивое истолкование мнимой величины становится еще

совершеннее благодаря тому, что еа и              имеют одно и то же

значение, если а есть данный угол, а (а) означает связанную с ним дугу, разделенную данным радиусом; действительно, тогда

COS X =              ,

2

как это и должно быть; аналогично V-1 sin х =              ;

эти формулы имеют чисто геометрический смысл, означая, что

е есть поворот на угол, дуга которого, измеряемая с помо&щью данного радиуса, равна Jt10*.

После этого все мнимые выражения приобретают чисто гео&метрический смысл, и их можно представить с помощью геомет&рических конструкций. Вместе с тем угол определяется как лога&рифм частного —, а потому при одинаковом положении сторон а

угла [получает определение] и бесконечное множество его значе&ний. Выяснилось также и обратное: как благодаря найденному зна&чению мнимой величины можно вывести законы [нового] анализа для плоскости; но, в отличие от этого, с помощью мнимой величи&ны уже невозможно вывести законы для пространства. Вообще, рассмотрение углов в пространстве сталкивается с трудностями, для преодоления которых у меня не было достаточного времени.

Таковы, примерно, вопросы, которые я собираюсь рассмот&реть во второй и последней части [своего труда], - во всяком слу&чае в той мере, в какой они мною сейчас разработаны; тогда мой труд будет завершен. Я не могу сказать, когда эта вторая часть увидит свет, так как деятельность, которую требует моя нынеш&няя должность, не оставляет мне времени, нужного для ее спо&койной разработки11*. Однако и первая часть этого труда предста&вляет собой самостоятельное, завершенное целое, и я счел, что лучше опубликовать эту часть вместе с соответствующими при&ложениями, чем выпустить обе части вместе, но отдельно от при&ложений.

Когда дело идет о некоторой новой науке, стоит сразу же по&казать ее применение и ее отношение к родственным предметам; это совершенно необходимо для того, чтобы ее положение и зна&чение были правильно поняты. Этой же цели должно служить и Введение. По своей сути оно скорее философского характера, и если я особо выделяю его из общей структуры данного труда, то делаю это для того, чтобы с самого начала не отпугнуть матема&тиков его философской формой.

Дело в том, что среди математиков все еще господствует - и отчасти не без оснований - известная боязнь философского обсуждения предметов математики и физики; и действительно, большинство изысканий этого рода, особенно те, которые ве&дутся Гегелем и его школой, страдают неясностью и произ&вольностью [толкований], уничтожающими все их плоды12*. Несмотря на это я счел, что само дело обязывает меня указать место новой науки в системе знаний13*, и поэтому предпослал - в расчете удовлетворить обоим требованиям - Введение, кото&рое можно пропустить без существенного ущерба для пони&мания целого. Я также заметил, что из приложений пропустить можно именно те, которые касаются явлений природы (фи&зика, кристаллография); это не нарушает общего хода рассуж&дений.