О НЕКОТОРЫХ НЕДОСТАТКАХ,СВОЙСТВЕННЫХ МЕТОДУ ГЕОМЕТРОВ

Мы видели, что есть хорошего в методе геометров. Все это мы свели к пяти правилам, значение которых невозможно переоценить. И надо признать в высшей степени удивительным, что геометры открыли такое множество сокровенных истин и доказали их при помощи столь убедительных и неопровержимых доводов, так мало пользуясь правилами.

Но если судить о вещах беспристрастно, то, не лишая геометров той заслуги, что в поисках пстипы они следовали гораздо более верным путем, чем все остальные, все же нельзя отрицать, что в их методе есть кое-какие недостатки, из-за которых они хотя и пе уклонялись от своей цели, но приходили к истине не самым прямым и не самым легким путем. Я постараюсь показать это, взяв примеры таких недостатков у самого Евклида.

Первый недостаток

Больше заботиться о достоверности, чем об очевидности, и о том, чтобы убедить ум, нежели о том,, чтобы просветить его

Похвальпо, что геометры выдвигают только убедительные положения, но опи, кажется, упускают из виду, что для совершенного знания какой-либо истины недостаточно убеждения в том, что данное положение ИСТИННО, если мы не усматриваем в природе самой вещи, почему оно истинно. Пока это не выяснено, ум пе испытывает полного удовлетворения и стремится к большему знанию, что служит признаком того, что он еще не обладает истинным зиапием. Этот недостаток, можно сказать, является источником почти всех других недостатков, которые мы отметим ниже. II таким образом, сейчас нет необходимости говорить о нем подробнее, поскольку мы сделаем это в дальнейшем.

Второй недостаток Доказывать истины, не нуждающиеся 8 доказательствах

Геометры признают, что не надо стремиться доказывать положения, ясные сами по себе. Однако они нередко делают это, ибо, стараясь, как мы уже сказали, скорее убеждать ум, нежели просвещать его, они думают, что его легче будет убедить, если они найдут какое-то доказательство даже для самых очевидных положений, чем если опп просто выдвинут их, с тем чтобы ум признал их очевидность.

Именно поэтому Евклид доказывает ту истину, что две стороны треугольника, вместе взятые, больше одной стороны23, хотя это очевидно уже из самого понятия прямой линии: она является кратчайшим расстоянием между двумя точками и естественной мерой удаленности одной точки от другой, что было бы невозможно, если бы она не была кратчайшей из всех линии, которые можно провести между двумя точками.

По этой же причине он превращает вопрос, как про-вести прямую, равную данной прямой, в задачу, которую надо решить24, хотя сделать это даже легче, чем описать окружность заданного радиуса.

Этот недостаток нетрудно объяспить.

Мне, разумеется, известно, что определенные атрибуты усматриваются в идеях легче, нежели другие. Но я по-лагаю, что если в идее можно без особого напряжения внимания ясно усмотреть некоторый атрибут и в этом не мог бы но-настоящему сомневаться ни один здравомыслящий человек, то этого достаточно, чтобы принять положение, к которому мы приходим путем простого рассмотрения данпой идеи, за принцип, не нуждающийся в доказательствах и требующий, самое большее, разт>яс- ненпя и некоторых дополнительных замечаний. Так, я утверждаю, что, если сколько-нибудь внимательно рассмотреть идею прямой линии, нельзя не уяснить, что ее положение зависит только от двух точек (Евклид сделал это одним нз своих постулатов25), и нетрудно понять, что если одпа прямая пересекает другую и на пересекающей прямой есть две точки, каждая из которых равно удалена от двух точек пересеченной прямой, то на пересекающей прямой не будет такой точки, которая не была бы равно удалена от этих двух точек пересечен-ной прямой. Исходя из этого, легко судить, когда одна прямая перпендикулярна другой, не прибегая к понятиям угла и треугольника, которые надо вводить лишь после того, как будет установлено много такого, что можно доказать только при помощи перпендикуляров 26.

Следует также отметить, что выдающиеся геометры используют в качестве начал положения мепее ясные, чем эти. Архимед, например, основывал самые стройные доказательства па такой аксиоме: Если две линии на одной плоскости имеют общие концы и являются выпуклыми в одну сторону, то объемлемая будет меньше объемлющей274

Я признаю, что этот недостаток — доказывать положения, не нуждающиеся в доказательстве, представляется незначительным и что сам по себе он действительно невелик; но оп имеет важные следствия, поскольку именно он обычно приводит к нарушению естественного порядка, о чем будет сказано ниже.

Третий недостаток

Доказательство через невозможное

Доказательства этого рода, показывающие, что вещь является такой-то, не через ее начала, а через какую-либо нелепость, которая воспоследовала бы, если бы эта вещь была иной, встречаются у Евклида довольно часто. Однако, очевидно, что они могут убедить ум, по отнюдь не просвещают его, а между тем именно в последнем состоит главное предназначение науки. Ибо наш ум не испытывает удовлетворения, если он 8нает только, что вещь существует, по не знает, почему она существует, а этого нельзя уяснить из доказательства, сводящего к невозможному.

Мы не утверждаем, что подобные доказательства надо отвергнуть; ими иногда можно воспользоваться для обоснования отрицательных положений, являющихся, собственно, лишь короллариями других положений, которые или ясны сами по себе, или доказаны прежде иным путем. В этих случаях доказательство, сводящее к не-возможному, представляет собой скорее разъяснение, чем новое доказательство.

Можно сказать, что подобные доказательства приемлемы только тогда, когда нельзя дать других, и ими не следует пользоваться для обоснования того, что может быть обосновано положительным образом. Но у Евклида есть много положений, которые он доказывает только таким путем и которые без особых затруднений могут быть доказаны иначе.

Четвертый недостаток Доказательства, полученные обходными путями

Этот недостаток у геометров очень распространен. Их не беспокоит, откуда взяты приводимые ими доказательства, лишь бы только они были убедительными. Однако доказывать вещи окольными путями, никак не обусловленными их природой,— значит доказывать их весьма несовершенным образом.

Рассмотрим это на примерах, Евклид (кн, I, предложение 5) доказывает, что у равнобедренпого треугольника два угла при основании равны между собой, следующим образом: он продолжает на одинаковую длину стороны треугольника, строит новые треугольники и сравнивает их друг с другом.

47-е предложение I книги, в котором доказывается, что квадрат основания, стягивающего прямой угол, равен двум квадратам сторон,— одно из наиболее ценных положений Евклида. И однако же, ясно, что способ, каким оно здесь доказывается, не является естественным, потому что равенство этих квадратов следует не из равенства треугольников, используемых Евклидом как средство доказательства, а от пропорцпональпости отрезков, которую легко показать, не пользуясь никакой другой линией, кроме перпендикуляра, опущенного с вершины прямого угла на основание,

У Евклида всюду встречаются такие доказательства окольными путями.

Пятый недостаток

Не думать о естественном порядке

Это самый большой недостаток геометров. Они ре-шили, что им не надо соблюдать никакого другого порядка, кроме того, чтобы первые положения служили для доказательства последующих, И таким образом, не заботясь о правилах пстинпого метода, состоящего в том, чтобы всегда начинать с самого простого и самого общего и затем переходить к более сложпому и более частному, они вперемежку говорят о линиях и площадях, треугольниках и квадратах, доказывают через посредство фигур свойства простых липий и допускают множество других нарушений [естественного порядка], искажающих эту прекрасную науку.

В «Началах» Евклида этот недостаток встречается повсюду. В первых четырех книгах речь идет о протяжении, в пятой говорится о пропорциях всякого рода величин. В шестой книге Евклид вновь рассматривает протяжение, в седьмой, восьмой и девятой говорит о числах, а в десятой снова возвращается к протяжению. Это то, что касается общего беспорядка, но у него очень много беспорядка и в частностях.

Относительно перпендикулярных п параллельных прямых Евклид ничего пе доказывает иначе, как через посредство треугольников. Он примешивает к измерению линий измерение площадей.

Оп доказывает (книга I, предложение 16), что, если продолжить сторопу треугольника, внешний угол будет больше любого из внутренних, ему противолежащих, а 16 положениями ниже у него доказывается, что внешний угол равен двум противолежащим.

Чтобы привести здесь все примеры подобного беспорядка, какие можпо найти в «Началах», пришлось бы переписать всего Евклида.

Шестой недостаток

Не прибегать к делению (divisions) и к членению (partitions)

Еще один недостаток метода геометров заключается в том, что они пе прибегают к делению и к членению. Нельзя сказать, что геометры не указывают всех видов тех родов, о которых они ведут речь; но опи делают это, просто определяя термины и располагая все оп-ределения одно за другим, не отмечая, что такой-то род имеет столько-то видов и что он не может иметь их больше, так как общая идея данного рода допускает всего столько-то различий,— а ведь это проливает свет на сущность рассматриваемого рода и его видов.

Например, в I книге «Начал» мы найдем определения всех видов треугольников. По не может быть никаких сомпепии, что намного яснее было бы сказать так:

Треугольники можпо подразделять в зависимости от сторон или в зависимости от углов.

Сторопы бывают

(все равны, п тогда треугольппк называется равносторонним, только две равны, и тогда оп называется равнобедренным, все три ыеравпы, и тогда он называется разносторонним.

Углы бывают

(все три острые, и тогда треугольник называется остроугольным,

только два острые, и тогда третий является

(прямым, и треугольник называется прямоугольным

пли (тупым, и треугольппк называется тупоугольным*

И лучше даже давать это делепие треугольников только после описания и доказательства всех свойств треугольника вообще, из чего можпо будет узнать, что но крайней мере два угла должны быть острыми, потому что все три угла в совокупности но могут быть больше двух прямых.

Этот недостаток связап с препебрежеппсм к истинному порядку, требующему, чтобы виды рассматривались и определялись лишь после того, как будет позпан род, в особенности когда о роде можпо многое сказать и он может быть описан без обращения к видам.