Элементы дифференциальной геометрии.

Пусть некоторая линия L в пространстве задана векторным уравнением r = r(t) = = x(t) i + y(t) j + z(t) k , t1 < t < t2 .

Приращение радиус-вектора r = r(t+t) – r(t) определяет прямую проходящую через 2 точки L , которая при t0 превращается в касательную.

Опр. Касательной плоскостью к поверхности, заданной уравнением F(x,y,z) = 0 , в точке М0 , наз. плоскость, в которой расположены касательные ко всем линиям, лежащим на поверхности и проходящим через М0 .

Пусть L проходит по поверхности F(x,y,z) = 0 через точку M0 .Тогда для всех точек кривой справедливо равенство F(x(t), y(t), z(t)) = 0. Т.к. производная от константы равна нулю, то

Это выражение можно переписать как скалярное произведение двух взаимно перпендикулярных векторов : N S = 0 , где S – направляющий вектор касательной к L и

N ={} ( 1 )

Поскольку N S для любой линии, проходящей по поверхности через М0 ,то по определению, N ( 1 ) является нормальным вектором касательной плоскости к поверхности F(x,y,z) = 0 в произвольной точке М0. Касательная плоскость в т. М0 существует, если координаты N непрерывны в ее окрестности и одновременно не равны 0.

Если уравнение поверхности G имеет явный вид z = f(x,y) и не содержит особых точек, то такая поверхность наз. гладкой поверхностью. У такой поверхности можно различать верхнюю и нижнюю стороны, а также границу. Если поверхность ограничивает тело, то она имеет внутреннюю и внешнюю стороны.

Из уравнения f(x,y) – z = 0 определим координаты N и его направляющие косинусы

( 2 )

где и знак вектора зависит от выбора стороны поверхности. Если выбрать , то угол - острый и сторона поверхности будет верхней.

При перемещении по поверхности положение касательной плоскости и ее вектора n непрерывно изменяется. Если по произвольному контуру L на поверхности G выйти из точки М, вернуться в нее и при этом направление вектора n не изменится на противоположное, то такая поверхность наз. двухсторонней. Лист Мебиуса пример односторонней поверхности.