§ 1. Геометрия чисел

Арифметика (1) как работа с отношениями чисел (т. е. с парами чисел) и (2) как теория пропорциональных отношений, т. е. преобразований подобия, легко поддавалась геометрической интерпретации.

Далее, например, арифметическая пропорция (прогрессия) давала ряд чисел (сумм) одной — треугольной — формы. Пифагорейская тетрада — это четвертая „степень" треугольной единицы, она содержит 10 единиц и обладает поэтому совершенством единицы, вернувшейся в себя.

• • • • • • • • • • •• ••• ••••

Число, выражающееся произведением двух равных чисел, до сих пор называется нами квадратным, мы говорим и о кубических числах, но греческий исток и смысл этих именований забылся, и, услышав о треугольных, пятиугольных, продолговатых числах, мы скорее всего удивимся. Между тем плоским прямоугольным, разносторонним („гетеромекным") или продолговатым называлось число, выражающееся произведением двух разных чисел. Фигура о о о о о о

• • • • о о о о о • о

• • о • о о о • о • о

о • о • о

о • о

о • о • о • о о • о • о • о • о • о

а

б

в

г

Рис.

„слоя" единиц, которая преобразует число некоторой формы в сле-дующее подобное, называется гномоном. Такие фигурные числа можно представить следующим образом (см. рис. I).

Мы заметили: величины „а-логичные", не выразимые целочисленными отношениями, вполне выразимы (ртутої) геометрически. Благодаря Платону мы знаем, как математик Теодор Киренский и его ученик Теэтет построили общую теорию несоизмеримых чисел (Теэтет. 147d—148b). В основу было положено известное разделение чисел на квадратные и гетеромекные („разнодлинные").2 Известно, что диагональ единичного квадрата несоизмерима с его стороной (->/2). Построив на ней прямоугольник со стороной, равной единице, получим площадь в 2 единицы и диагональ, дающую следующую несоизмеримую (с единицей) величину (V3). Следующий аналогичный шаг дает площадь 3 и диагональ 2, соизмеримую с единицей. Теэтет показал, что соизмеримы в этом ряду только те отрезки, площади единичных прямоугольников на которых выражаются квадратным числом. Если же эти площади выражаются гетеромек- ным числом (2,3, 5,7...), то они своей единицей не измеряются.3

В результате греческая геометрия также получает совершенно особую форму. Поскольку геометрическая фигура изначально мыслится как геометрический образ числа, проблемы арифметики (т. е. науки об отношениях и свойствах чисел) оказываются основными проблемами геометрии.

С другой стороны, геометрический смысл числовых выражений внутренне ограничивает постановку арифметических проблем, например: к трем видам чисел — линейны^ (а), плоскостных (ab) и телесных (abc) — нельзя было добавить число abed, геометриче-ски бессмысленное; соответственно можно было рассматривать ре-шение (методами геометрической алгебры) только уравнений третьей степени, т. е. решать проблему отыскания двух средних в непрерывной пропорции (знаменитая задача об удвоении куба, которую впервые решил с помощью изощренных стереометрических построений Архит Тарентский). Основные арифметические книги «Начал» Евклида построены именно таким — геометрическим — способом.

Мы вынуждены входить в эти математические детали (в действительности азбучные положения как греческой гармоники, так и собственно математики), потому что только на этом уровне достаточно конкретно открываются некоторые общие формальные (архитектонические) принципы греческой теоретической мысли. В частности, изложенное поможет нам понять одно чрезвычайно значимое место из «Эпиномиса», послесловия к платоновским «За-конам». Это место вызывало массу затруднений именно из-за того (как показали О. Теплиц, О. Бекер и Б. Ван дер Варден), что филологи не обращали внимания на специальный математический смысл некоторых терминов.

Платон (или его ученики ) вновь — с интонацией окончательной убежденности — рассматривает состав тех „математ", которые необходимы для обретения мудрости и для истинного благочестия. Разумеется, в начале начал лежит всеобразующее число, которое является «виновником всех и величайших благ», без которого все «несоотносимо (или несоизмеримо) и беспорядочно (&А,6ушт6<; те каі атакто<;), бесформенно и неритмично (аахтщсоу те каі арр-о0цо<;), и нескладно мечущееся (avapjiocTToq те фора)» (978а). Поистине божественно же все мироздание в целом, разумная стройность которого дана нашему зрению самим небом и небесными телами, многообразные, правильные, ритмичные движения которых и научили нас числу. Поэтому астрономия есть «наука благочестия» (990а).

«Поэтому, — резюмирует автор, — должны быть математы. Величайшая же из них и первая — о числах, но не о тех, что имеют тела, а в целом о родах четного и нечетного и о том, сколь мощно воздействуют они на природу существующего. Следующее для тех, кто научился этому, то, что называют очень смешным именем землемерия; [тогда как] очевидно, что [это наука о том], как стать подобными числам, которые по природе не являются подобными, [если речь идет о] плоских числах» (990d)J

Определения использованных здесь терминов мы находим у Евклида (VII.

Построить квадрат (х2), равновеликий данному прямоугольнику (iab), значит найти среднюю геометрическую его сторон (а/х = = х/Ь). Задача, легко решаемая геометрически. Соответствующую операцию проделывают с другим плоским числом (cd), неподобным первому. Получают отношение двух подобных чисел (квадратов X и у2), между сторонами которых, в свою очередь, существует средняя (согласно предл. VIII, 11 «Начал» Евклида1).

Основная задача стереометрии сводная к отысканию двух средних пропорциональных, с помощью которых данное паралле- лограммное число может быть выражено равновеликим кубом и один куб геометрически (непрерывно) перестроен в другой.2

Итак, аритмо-геометрический ум-устроитель (косметор) устраивает (или открывает устроение) мира чисел-форм тем, что умеет связывать разнородные, разновидные, неподобные формы непре-рывными отношениями подобия, сводя все многообразие форм (аритмо-геометрических) к одной (например, к некоему единичному квадрату или кубу). С другой стороны, он умеет с помощью пропорциональных построений порождать многообразный мир из первых форм (единиц) — либо как ряды чисел, каждый из которых соответствует определенному эйдосу (треугольное, квадратное, пятиугольное, гетеромекное число), либо как бесконечное множество фигур, связанных пропорциональными отношениями сторон с единственной равновеликой им и равной самой себе фигурой.

Теперь мы можем перейти к последнему пассажу «Эпиноми- са», столь же многозначительному, сколь и темному.