КОММЕНТАРИИ Часть первая Герман Грассман Учение о формах и Философия математики. Избранное  

Verkniipfung и т.п.; но не только - это и результат связи, т.е.

соответствующая форма. И это несмотря на то что выше автор различает соединение и результат соединения; но в словах: «сочленение, состоящее из многих членов» имеется в виду не операция, а ее результат - многочленная форма. Такое же терминоло&гическое смешение будет затем и в трудах Роберта Грассмана. Впрочем, это не препятствует пониманию рассуждений Грассмана, так как из контекста всегда можно установить, о чем идет речь: об операции или ее результате, т.е. получен&ной с ее помощью форме, или величине. Напомним, что и в современной логи&ке такие термины, как конъюнкция и дизъюнкция, понимаются тоже двояко, обозначая, в зависимости от смысла рассуждения, то операцию & или v, то конъюнктивную либо дизъюнктивную формулу.

4* «Скобкой» Герман Грассман - а потом и Роберт - называют совокуп&ность двух знаков - открытия и закрытия скобки (в современной логике - сово&купность левой и правой скобки). Как следует из сказанного, в языке «теории форм», содержащем единственную бинарную операцию п, скобка (в грассма- новском смысле) может удаляться тогда, когда она либо внешняя (для всей фор&мы), либо форма многочленная, и скобки могут быть восстановлены, говоря со&временным языком, по ассоциативности влево.

5* Грассман употребляет термин «совместимость» (die Vereinbarkeit) для обозначения свойства, которому в настоящее время в математике соответствует « ассоциативность».

6* То есть из закона ассоциативности для операции п. Следующее далее до&казательство того, что ассоциативность может быть распространена на формы, которые содержат любое число членов, связанных операцией п, - и, значит, скобки могут быть удалены по ассоциации влево, - представляет собой «сверну&тое» индуктивное доказательство. Вводя для «форм» единственную бинарную ассоциативную операцию п, Г. Грассман получает понятие полугруппы.

7* Это аналогичное - «свернутое» индуктивное - доказательство свойства операции п, подчиняющейся законам ассоциативности и коммутативности, и Г.

Грассман после введения операции, обратной по отношению к операции п, приходит к понятию коммутативной группы.

8* Аналитическая процедура - разыскание х, такого что: 1) х п b = а или 2) b п х = а. В случае коммутативности операции п: х п b = b гл х = а. Так как х зависит от а и то есть порождается из них с помощью некоторой бинарной операции, которую ниже Г. Грассман обозначает знаком и, то мы имеем: (а и b) n b = b n (a u b) = a.

9* Из определения аналитического сочленения следует, что в формуле аи b c\b = а форма a\j b рассматривается как нечто единое, то есть исходное выражение следует воспринимать как (a и b) n b = а, а запись вида а и b kj с предполагает ассоциативность аналитической операции влево, то есть что a u b и с = (a u Ь) и с. Последующие выкладки Г. Грассмана становятся яснее, если в нужных случаях расставлять скобки, отсутствующие в используемых им формах.

10* Это рассуждение имеет вид:

((а и b) и с) Г\(Ьп с) = ((a и Ь) и с) п (с n Ь) = (((а и Ь) и с) п с) nb = а.

Здесь и в последующих выкладках существенно используется правило замены равным.

11* Например, aKjbKjcud = ayjbu(cnd)

= a u (b п с n d).

12* Это рассуждение Г. Грассмана становится более понятным, если восста&новить скобки:

flU(/?UC) = ((flU(ftU с)) ис)пс

= (flU ((b ис)пс))пс = (аи1>)пс.

,3* Например:

a u (b п (с u (d п /))) = оиЬиси^ и/.

14* То есть из принятых допущений не следует, что

с n (а и Ь) = (с п a) u Ь.

15* «Однозначность анализа», согласно определениям Г. Грассмана, означа&ет: если а*а', то a nb* a' nb, откуда получается, что равенство a n b = a' nb влечет а = а'Тогда из того, что ((a n b) u b) п b = а п Ь, следует, что {а гл b) vj b = а.

16* Выкладки Г. Грассмана в этом параграфе становятся понятнее, если в рассматриваемых формах восстановить подразумеваемые в них скобки.

17* Здесь Г. Грассман заканчивает определение понятия коммутативной группы.

См. об этом Послесловие (в данной книге, с. 358-361).

18* Заметим, что Г. Грассман для «сложения и вычитания однородных форм» еще не определил отношение «больше»; оно представляется здесь ему, по-видимому, интуитивно понятным, так как уже все подготовлено для перехо&да к арифметике цельсх чисел.

19* Ф. Энгель в комментариях к «Учению о протяженностях» (1844 г.) счи&тает эту фразу Г. Грассмана непонятной: ему не ясно, почему одна операция должна быть определена с помощью другой {Engel F. Anmerkunger zur Ausdehnungslehre von 1844 I I Hermann Grassmann Gesammelte mathematische und physikalische Werke. Bd. I. Thl. 1. S. 407). Однако смысл слов Г. Грассмана легко усмотреть из сказанного им перед тем: он переходит к рассмотрению отноше&ний между двумя различными операциями, а задание такого отношения может рассматриваться как определение одной операции с помощью другой.

20* Приводимые в нашем переводе параграфы 13 и 14 - «Das Ausdehnungsgebilde, die Strecke und das System erster Stufe», а также параграф 16 - «Systeme hoherer Stufen» (так же как пропущенный при переводе параграф 15, не представляющий интереса с точки зрения целей данного издания) уже не отно&сятся к «учению о формах». Этими параграфами открывается первый раздел «Учения о протяженностях», обозначенный как «теоретическое построение». Мы приводим перевод только трех параграфов этого раздела с тем, чтобы дать представление о том, каким образом понятия, развитые в данном «Очерке» Г. Грассмана, применяются в процессе развертывания его теории. При ознаком&лении с этими параграфами полезно учесть «Введение в науку об экстенсивных величинах...», перевод которого помещен ниже.

Параграфы 13 (кроме первого абзаца и подстрочного примечания к нему), 14 и 16 имеются в русском переводе, выполненном Б.А. Розенфельдом (см.: Хре&стоматия по истории математики. Арифметика и алгебра. Теория чисел. Гео- метрия / Под ред. А.П. Юшкевича. М.: «Просвещение», 1976. С. 290-294). Этот перевод и примечания к нему были учтены при подготовке данного издания.

21 * В переводе, указанном в предшествующем комментарии, термин Г. Грассмана der erzeugende Punkt передан выражением «образующая точка». Такой перевод грассмановского термина соответствует сложившейся математи&ческой терминологии, но не отвечает «генетической» установке его автора. По&этому мы остановились на выражении «порождающая точка».

22* Г. Грассман имеет в виду возврат от отношений геометрии как «реаль&ной» науки к отношениям «формальным» - устанавливаемым на основе «чис&того учения о формах». Б.А. Розенфельд в примечании к этому месту грассма&новского текста истолковывает «понятийные отношения» как отношения мно&гомерной геометрии в современном смысле - в отличие от «пространственных» отношений геометрии трехмерного пространства (см. книгу, упомянутую в коммент. 21*).

23* В оригинале das Gebilde. Этот термин по-русски можно передать как «образ» (как и поступает Б.А. Розенфельд). Однако этот перевод не передает всей тонкости мысли Г. Грассмана. Das Gebilde у него - это то, что порождено, образовано, т.е. образование.

24* Впоследствии «протяженное образование первой ступени» окажется ориентированным отрезком, начало и конец которого суть начальный и конеч&ный элементы.

25* «Система (область) первой ступени» относится к «протяженному образу первой ступени» как прямая - к ориентированному отрезку этой прямой (приме&чание Б.А. Розенфельда).