Раздел 9 ВОЗВЫШЕНИЕ (ИЛИ ВОЗВЕДЕНИЕ В СТЕПЕНЬ), НАИВЫСШИЙ УРОВЕНЬ СВЯЗИ ВЕЛИЧИН  

Вместо сложения двух вели&чин, образующих ступень, можно заплести две высоты, состоящие из основания и одной из величин, и, наобо&рот, две высоты с одним и тем же основанием можно переплести, сложив ступени этого основания.

Вместо суммирования двух величин в показателе сте&пени, можно перемножить две степени, состоящие из этого основания и величин - слагаемых показателя сте&пени, и, наоборот, две степе&ни с одним и тем же осно&ванием можно перемножить, сложив показатели степени этого основания.

возвысив данное основание на отдельные слагаемые, из которых состоит данная сту&пень, и переплетя полу&ченные высоты. Полученная высота снова будет некото&рой штифтовой величиной.

возвысив данное основание в степени слагаемых, состав&ляющих в сумме показатель степени, и перемножив по&лученные степени. Получен&ная в результате степень снова будет основной вели&чиной [die Elementergrose].

Доказательство непосредственно следует из № 36. 69. Определение. Возвышение называется повышением, если имеет место только отношение; повышение называется завыше&нием, если выполняются равенства

(ab)e=aebe aei'2 =(aei)'2,

если

1. вместо возвышения на один штифт изделия из двух величин эти величины мож&но возвысить порознь, а по&лученные высоты заплести, и
2. вместо возвышения неко&торой величины на продукт двух штифтов, ее можно по&следовательно возвысить на штифты, образующие дан&ную ступень;

Наконец, завышение называется если для основания и ступени, или ется сплетение.

1. вместо того чтобы возво&дить в степень, равную неко&торому элементу, произве&дение двух величин, эти величины можно по отдель&ности возвести в эту степень, а полученные степени пере&множить, и
2. вместо того чтобы неко&торую величину возводить в степень, являющуюся про&изведением двух элементов, эту величину можно после&довательно возвести в такую степень, показателями кото&рой являются элементы, со&ставляющие исходный пока&затель.

превышением [die Erhohung], показателя степени, выполня-

70.

(aby = afb*.

Продукт из двух величин завышают на один штифт, завышая на этот штифт каждую величину основания по отдельности и сплетая полученные высоты.

72. а"1'2 =(ае1У2

Величину завышают на про&дукт двух штифтов, последо&вательно завышая основание на эти штифты.

Произведение двух величин возводят в степень, равную некоторому элементу, воз&водя в эту степень по от&дельности каждую величину и перемножая полученные степени.

Величину возводят в сте&пень, показатель которой есть произведение двух эле&ментов, последовательно возводя основание в степени, равные этим элементам.

72. Основные формулы завышения всегда справедливы, если в ступени в качестве штифта, или элемента, выступает единица.

Доказательство: 1. Имеет место

(iaby - ab              (согласно 63)

= а>Ы              (согласно 63)

2. Имеет место

а> 1 = а1              (согласно 50 Ь)

= (а1)1              (согласно 63)

Итак, в случае единицы справедливы обе основные формулы завышения.

73. = аьс = (аьУ

Доказательство: подразделяется на две части, а именно:

1. если некоторая величина завышена на продукт величины и штифта, т.е.

а** = (ah)e

2. если некоторая величина завышена на продукт двух вели&чин, т.е.

abc = {аь)с.

1. [Доказательство] для штифтов, или основное относительно Ь.
1. Равенство аЬе = (<аь)е справедливо, если Ъ является только одним штифтом (согласно 71).
2. Если это равенство выполняется для некоторой произволь&ной [величины] b (допущение), то оно выполняется и для [величи&ны] Ъ + еь содержащей на один штифт больше (заключение); ибо

а(ь+е0е=аье+ехе              (согласно 52)

= abe+eie              (согласно 67)

= (ab)e(a€l У              (согласно допущению и в соответ&

ствии с 71)

= (аьае[)е              (согласно 70)

= (аь+е1У              (согласно 67).

3. Итак, в соответствии с 19, это равенство справедливо в об&щем случае.
3. В соответствии с 73 а, справедлива основная формула объ&единения; поэтому, в полном соответствии с разделом 4, справед&лив и закон объединения; стало быть, также справедливо аЬс = = (ah)c (согласно 24).

74. Закон завышения (возведения в степень в среднем смысле).

В любой связи величин,              В любой связи величин, по- полученной посредством за-              лученной посредством воз&вышения, ступень, пред-              ведения в степень в среднем ставляющую собой сумму,              смысле, показатель степени можно разложить, завысив              которой является суммой, основание на отдельные              можно разложить, возводя штуки ступени и заплетя              основание в степени, показа- полученные высоты.

Можно              телями которых являются также разложить ступень,              слагаемые, составляющие представляющую собой про-              указанную сумму, и пере-

дукт ступеней, последо&вательно завышая основание на величины, составляющие ступень. Полученная вели&чина, в свою очередь, явля&ется штифтовой величиной.

множить полученные таким образом степени. Можно также разложить произве&дение, являющееся показате&лем степени, последова&тельно возводя основание в степени, равные сомножи&телям указанного произве&дения. Полученная таким образом степень в свою очередь является элементар&ной величиной.

Доказательство. Непосредственно следует из № 73, в соответ&ствии с разделом 4, и из № 68.

75. Главная формула превышения (возведения в степень в уз&ком смысле)

(аЬ)с = аФ

Продукт двух величин пре-              Произведение двух величин

вышают на некоторую ве-              возводят в степень, пока-

личину, превышая каждую              зателем которой является

величину на данную ступень              некоторая величина, возводя

и сплетая полученные таким              в данную степень каждый из

образом высоты.              сомножителей и перемножая

полученные степени.

Доказательство: Для штифтов, или основное относительно с.

1. В соответствии с 72 данное равенство справедливо, если с является единственным штифтом.
2. Если это равенство справедливо для произвольной величи&ны с (допущение), то оно справедливо и для величины с + е, содержащей на один штифт больше (заключение); ибо

(aby+f = (aby • (ab)e              (согласно 67)

-acbcaebe              (согласно допущению и в

соответствии с 72)

= (<ас a'Xfc Ы)              (согласно 60, так как, согласно 69,

место переплетение)

= ас+< Ь™              (согласно 67).

Итак, в соответствии с 19, данное равенство справедливо в об&щем случае.

76. = (ФУ = (а<)ь

Порядок, в котором производится последовательное превыше&ние, или возведение в степень, можно произвольно изменять.

77. Закон превышения (возведения в степень в узком смысле)

В любой связи величин, полученной превышением, любое основание, являю&щееся продуктом, можно разложить, превышая отде&лы, составляющие основа&ние, на данную ступень, и сплести полученные высо&ты; каждую ступень, являю&щуюся суммой, можно раз&ложить, превышая основа&ние на каждую штуку сту&пени и сплетая полученные высоты; каждую ступень, являющуюся продуктом, можно разложить, последо&вательно превышая основа&ние на отделы, составляю&щие ступень.

Порядок после&довательного превышения может быть любым. Полу&ченная таким образом высо&та в свою очередь является штифтовой величиной.

В любой связи величин, полученной возведением в степень в узком смысле, основание, представляющее собой произведение, можно разложить, возводя в сте&пень с данным показателем каждый сомножитель осно&вания и перемножив полу&ченные степени; любой по&казатель степени, являю&щийся суммой, можно разло&жить, последовательно воз&водя основание в степени, представляющие собой сла&гаемые показателя, и пере&множив полученные сте&пени; любой показатель степени, являющийся про&изведением, можно разло&жить, последовательно воз&водя основание в степени, являющиеся сомножителями данного показателя. Поря&док, в котором производится последовательное возве&дение в степень, может быть произвольным. Полученная таким образом степень в свою очередь является эле&ментарной величиной.

78. Границы учения о величинах.

Возвышение, или возведение в степень, представляет собой самый высокий уровень связи величин, и не может существовать никакого более высокого уровня связи величин.

Доказательство: Если бы существовал уровень связи величин, более высокий, чем возвышение (возведение в степень), то [он] должен был бы иметь место для первого отношения [den ersten Beziehung] (в соответствии с 31). Если бы имело место некоторое отношение, то - в соответствии с 31 - для более низкого уровня связи должно было бы выполняться, по крайней мере, объедине&ние. Но для основания и ступени не имеют места ни объединение, ни перестановка; ибо, если бы имело место объединение, то было бы справедливо равенство

aibC+d) = (abrd, однако справедливо

a(bc+d) -a(bc)(bd)

в сравнении с этим,

(ab)c*d =((ab)c) ((ab)d), точно так же различны аь и Ь°. Итак, для основания и ступени не имеет места [ни] объединение, [ни пе&рестановка], поэтому не существует никакого более высокого уровня связи величин, для которого могло бы иметь место отно&шение, а наоборот, возвышение - самый высокий уровень связи величин.