§ 45. Матричный метод

Для полного понимания системы модальной логики, излагаемой в настоящей главе, необходимо познакомиться с матричным методом. Этот метод может быть применим ко всем логическим системам, в которых встречаются функции истинности, то есть функции, значения истинности которых зависят только от значений истинности их аргументов.

С10 = 0. Очевидно, что отрицание истинного предложения ложно, то есть N1=0,а отрицание ложного предложения истинно, то есть N0 = 7. Обычно эти символические равенства представляют с помощью «таблиц истинности», или, как их еще называют, «матриц». Двузначная матрица Mlдля С и Nможет быть описана следующим образом: значения истинности С располагаются в строках и колонках, образующих квадрат, и отделяются прямыми линиями, идущими от левой и от верхней сторон. Значения истинности первого аргумента помещаются слева, значения истинности второго— у верхней стороны квадрата, а значения истинности С можно найти в квадрате в месте пересечения воображаемых прямых, идущих от значений истинности аргументов к противолежащим сторонам матрицы. Матрица для Nлегко понятна:

С 1 О N

1100 0111 Ml

С помощью такой матрицы любое выражение клас-сического исчисления предложений, то есть С—N—р-ис- числения, может быть механически верифицировано, то есть доказано, когда оно принимается, и опровергнуто, когда оно отбрасывается. Для этой цели достаточно подставить значения 1 и 0 во все возможные комбинации из переменных, и если каждая комбинация сводится согласно равенствам, сформулированным в матрице, в конечном счете к 7, то выражение доказано, если же нет, то оно опровергнуто.

Для р=1, q=l: C1CN11 = С1С01 = С77 = 7,

» р=1, q = 0: С1CN10 = С1С00 = С11= 7,

» р = о, q = 1: C0CN01= С0С11 = СОЇ = 7,

» р = 0, q = 0: C0CN00 = С0С10= COO = 7.

Таким же способом можем проверить выполнимость двух других аксиом С—N—p-системы, CCpqCCqrCpr и CCNppp.Так как Ml построена таким образом, что свойство всегда давать 7 наследственно относительно правил подстановки и отделения для принимаемых выражений, то все принимаемые формулы С—N—р-си- стемы могут быть доказаны с помощью матрицы Ml. А так как аналогично свойство не всегда давать 7

Йаследственно относительно правил вывода для отбрасываемых выражений, то все отбрасываемые формулы С—N—p-системы могут быть опровергнуты с помощью Ml, если р отбрасывается аксиоматически. Матрица, которая верифицирует все формулы системы, то есть доказывает принимаемые и опровергает отбрасываемые формулы, называется «адекватной» этой системе. Матрица Ml адекватна классическому исчислению предло-жений.

Ml—не единственная адекватная матрица С—N—р- системы. Мы получаем другую адекватную матрицу, М3, посредством «умножения» Ml на саму себя. Процедура получения М3 может быть описана следующим образом:

Во-первых, мы образуем упорядоченные пары значений 1 и 0, а именно: (1,1), (1,0), (0,1), (0,0); они составляют элементы новой матрицы. Во-вторых, мы определяем значения истинности С и А с помощью равенств:

{у) С {a, b)(c, d) = (Cac, Cbd)9 (z) N (a, b)= (Na, Nb).

Затем мы строим матрицу М2 согласно этим равенствам; и, наконец, преобразуем М2 в М3 с помощью сокращений: (1,1) =1, (1,0) =2, (0,1) = 3 и (0,0) =0. с 1,1 1,0 0,1 0,0 | N с 1 2 3 0 N (П) (1,1) (1,0) (0,1) (0,0) (0,0) 1 1 2 3 0 0 (1,0) (1,1) (1,1) (0,1) (0,1) (0,1) 2 1 1 3 3 3 (ОН) (1,1) (1,0) (1,1) (1,0) (1,0) 3 1 2 1 2 2 (0,0) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) (1,1) 0 1 1 1 1 1 М2 М3

Символ 1 в М3 также обозначает истину, а 0 — ложь.

В этом можно убедиться, отождествляя один из них, безразлично какой именно, с 7, а другой — с 0. с 1 1 0 0 N с 1 0 1 0 N 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 I М4 М5

Взгляните на М4, где 2 = 1, а 3 = 0. Вторая строка М4 идентична первой строке, а четвертая строка — третьей; аналогично, вторая колонка в М4 идентична первой ко-лонке, а четвертая колонка — третьей. Вычеркивая излишние промежуточные строки и колонки, мы получаем Ml. Таким же способом мы получаем Ml из М5, где 2 = 0 и 3=1.

М3 — четырехзначная матрица. Умножая М3 на Ml, мы получаем возьмизначную матрицу, дальше умножая полученное на Ml — шестнадцатизначную матрицу и в общем случае 2ц-значную матрицу. Все эти матрицы адекватны С—N—p-системе и продолжают быть адекватными ей, если мы расширим систему введением в нее переменных функторов.