§ 46. С—N—3—/?-система

Мы уже встречали два положения с переменным функтором S: принцип экстенсиональности CQpqCbpbqи положение CbpCbNpbq.Так как последнее положение есть аксиома нашей системы модальной логики, то необходимо до конца объяснить расширенную с помощью 8 С—N—p-систему, которую я называю, следуя Мередиту (С.

Введению в пропозициональную логику переменных функторов мы обязаны польскому логику Лесневскому. Посредством модификации его правила подстановки для переменных функторов я смог дать простые и элегантные доказательства h Прежде всего необходимо объяснить это правило.

Через о я обозначаю переменный функтор от одного пропозиционального аргумента и допускаю, что 8Р — осмысленное выражение, если только Р есть осмыслен-ное выражение. Рассмотрим же, в чем состоит значение простейшего осмысленного выражения с переменным функтором, то есть 8р.

Переменная — это отдельная буква, рассматриваемая по отношению к области тех значений, которые могут быть подставлены на ее место. На практике подстановка означает написание вместо переменной одного из ее значений, притом одного и того же значения для каждого вхождения той же самой переменной. В С—N—р- системе область значений пропозициональных переменных, таких, как р или р, составляется из всех пропозициональных выражений, которые имеют смысл в данной системе; кроме них, могут быть введены две константы, 1 и 0, то есть константа истинного и константа ложного предложения. Какова же область значений функториальной переменной 8?

Очевидно, что вместо 8 мы можем подставить любое значение, которое совместно с р дает осмысленное выражение в нашей системе. Таковыми являются не только постоянные функторы от одного пропозиционального аргумента, как, например, V, но также и сложные выражения, работающие подобно функторам от одного аргумента, такие, как Cqили CCNpp.С помощью подстановки bjCqмы получаем из 8р выражение Cqp, а с помощью подстановки b/CCNpp— выражение CCNppp.

Я был в состоянии преодолеть эту трудность следующим путем, который сначала объясню на примерах. Для того чтобы получить Cpqиз 8р с помощью подстановки на место 8, я пишу bjC’qи совершаю подстановку, опуская 8 и заполняя отмеченное апострофом пустое место аргументом 8, то есть р. Таким же путем я получаю из 8р выражение CpCNpqпри помощи подстановки bjC’CN’q.Если в выражении встречается более чем одно 8, как это имеет место в CbpCbNpba, и я хочу со-вершить в этом выражении подстановку 8/CV, то я должен повсюду опустить 8 и написать на их месте С9г, заполняя пустые места соответствующими аргументами 8. Таким образом, я получаю из 8р — Срг, из 8Ар— САрг, из 8а — Cqr,а из всего выражения получаю CCprCCNprCqr. Из того же выражения CbpCbNpbqследует при подстановке 8/С" формула CCppCCNpNpCqq. Подстановка 8/’ означает, что 8 должно быть опущено; с помощью этой подстановки мы, например, получаем из CbpCbNpbqпринцип Дунса Скота CpCNpq.Подстановка 8/8* является «тождественной» подстановкой и ничего не изменяет. Вообще говоря, из выражения, содержащего функторы 8, мы получаем новое выражение с помощью подстановки на место 8, написав вместо 8 осмысленное выражение по крайней мере с одним пустым местом и заполнив пустые места соответствующими аргументами 8. Это не новое правило подстановки, а просто описание того, как должна совершаться подстановка на место переменного функтора.

С—А—8—p-система может быть построена на единственной принимаемой аксиоме, уже нам известной:

51. CbpCbNpbq,

к которой должно быть добавлено аксиоматически отбрасываемое выражение р, для того чтобы выявить все отбрасываемые выражения.

51. 8/Ь q/pX53

CpCNpp

51. 8jCpCNp\ q/NpXC53-54

CCpCNpNpCpCNpNp

51. 8/’, qlNpX^S

CpCNpNp

55. р/CpCNpNp X C55 — 56

CNCpCNpNpNCpCNpNp

51. 8/C”, р/CpCNpNp, q/p X C54— C56 — 57

Cpp

Мне бы хотелось подчеркнуть, что система, основанная на аксиоме 51, значительно богаче, чем С—N—р- система. Среди принимаемых следствий, содержащих 8, имеются такие логические законы, как CCpqCCqpCbpbq, CbCpqCbpbq, CbCpqCpbq,— все очень важные, но неизвестные подавляющему большинству логиков. Например, первый закон есть принцип экстенсиональности, эквивалентный COpqCbpbq; второй может быть взят в качестве единственной аксиомы так называемой «им- пликативной» системы; третий — в качестве аксиомы так называемой «позитивной» логики. Все эти законы могут быть верифицированы матричным методом согласно данному ниже правилу.

В двузначной логике существуют четыре и только четыре различных функтора от одного аргумента, обо-значаемых здесь как V, 5, Nи F(см. матрицу Мб).

р \ V S N F I 1 1 0 0 0 1 0 1 0 (1,0) Мб

Для верификации 8-выражений достаточно следующего практического правила, которым мы обязаны, в сущности, Лесневскому: последовательно пишите вместо 8 функторы V,S, Nи F,затем опустите S, преобразуйте Vaв Срр, a Fa— в NCpp.Если вы получите во всех случаях истинную С—N-формулу, то выражение должно быть принято, в противном случае оно должно быть отброшено. Пример: CbCpqCbpbqдолжно быть

принято, потому что мы имеем

CSCpqCSpSq— CCpqCpq, CNCpqCNpNq,

CVCpqCVpVq = CCppCCppCpp, CFCpqCFpFq =

= CNCppCNCppNCpp.

Выражение CCpqCbpbqдолжно быть отброшено, так как CCpqCNpNqне является истинной С—N-формулой.

§ 48.5-определения

Функтор 8 может быть успешно применен для выражения определений. Авторы «Principia Mathematica» выражают определения с помощью специального символа, состоящего из знака равенства «=», который связывает определяющее с определяемым, и букв «Df», помещаемых после определения. Согласно такому методу, определение альтернативы будет выглядеть следующим образом:

CNpq = Hpq Df,

где CNpq(«Если не р, то q»)является определяющим, a Hpq(«или р, или q»)—определяемым К Символ «.=.Df» связан со специальным правилом вывода, разрешающим замещать определяемое на определяющее, и обратно. Достоинство этого вида определения в том, что результат дается непосредственно. Но это же связано с тем недостатком, что при этом увеличивается число основных символов и правил вывода, которых должно быть как можно меньше.

Лесневский записал бы то же самое определение как эквивалентность без введения в свою систему нового основного термина для выражения определений, потому что для этой цели он выбрал эквивалентность в качестве основного термина своей логики предложений, расширенной посредством функториальных переменных и кванторов и названной им «протетикой». В этом преимущество его точки зрения. С другой же стороны, он не может непосредственно заменить определяемое определяющим или наоборот, потому что эквивалентность имеет свои собственные правила, которые позволяют делать такие замещения.

В нашей С—N—5—/7-системе эквивалентность не является основным термином; следовательно, она должна быть определена, но во избежание круга она не может быть определена с помощью эквивалентности. Мы увидим, однако, что возможно выражать определения посредством С и S способом, который, сохраняя преимущества обеих точек зрения, в то же время лишен их недостатков.

Целью определения является введение нового термина, который, как правило, является сокращением некоторого сложного выражения, содержащего уже из-вестные нам термины.

(а) Как определяющее, так и определяемое должны быть пропозициональными выражениями.

1 Обычно я обозначаю альтернативу через А, но эта буква ужо приняла другое значение в моей силлогистике.

Определяющее должно состоять из основных терминов или из терминов, уже определенных через них.

Определяемое должно содержать новый термин, введенный с помощью определения.

Любая свободная переменная, встречающаяся в определяющем, должна встречаться и в определяемом, и vice versa К Легко видеть, что, например, CNpqв качестве определяющего и Hpqв качестве определяемого подчиняются четырем вышеприведенным условиям.

Обозначим теперь через Р и Rдва выражения, которые удовлетворяют условиям (а) — (d) так, чтобы одно из них, безразлично какое именно, могло бы быть взято как определяющее, а другое — как определяемое. Предполагается, что ни одно из них не содержит S. Я утверждаю, что принимаемое выражение CbPbRпред-ставляет собой определение. Например, выражение:

CbCNpqbHpq

представляет собой определение альтернативы. Согласно 58, любое выражение, содержащее CNpq, может быть непосредственно преобразовано в другое выражение, в котором CNpqзамещено на Hpq.В качестве примера мы можем взять принцип Дунса Скота:

CpCNpq,

из которого мы можем получить закон CpHpq, то есть «Если р, то или р или 9», посредством следующего вывода:

Ь/Ср9 ХС59 — 60

CpHpq.

Если мы хотим применить наше определение к принципу Клавия

CCNppp,

мы должны сначала поставить р вместо qв 58, получая таким образом

qlpX62

CbCNppbHpp 62. Ь/С'рХС6\— 63 63. СНррр.

1 Наоборот. — Прим. ред.

(Формула 63 читается: «Если или рили р,то р»и является одним из «основных предложений» или аксиом, принимаемых авторами «Ргіпсіріа Mathematica».Они правильно называют эту аксиому «принципом тавтологии», так как она констатирует, что сказать то же самое (таото Xs^siv) дважды, «рили р», все равно, что сказать просто «р».Принцип же Дунса Скота, напри-мер, не является тавтологией в любом разумном смысле.)

Импликация, обратная 58.

Если Ри Rсуть любые осмысленные выражения, не содержащие 8, и CbPbRпринимается, то должно быть также принято и CbRbP.

Доказательство:

стд

(D) Ъ/СЬ’ЪРх (Е) (E) CCmPCbRbP (D) Ь/CCm’CbRbPх (F) (F) CCCbPbPCbRbPCCbPbRCbRbP

(F) X С (E) — С(D) — (G)

CbRZP

Если, следовательно, P и Rне содержат 8 и одно из них может быть интерпретировано как определяющее, а другое — как определяемое,то ясно, что любое принимаемое выражение формы CbPbRпредставляет собой определение, так как Рможет быть повсюду заменено на Р, a R— на Р, а это как раз и есть характерное свойство определения.