27. ОПЕРАТОРЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

Часто вместо уравнений вида приходится рассматривать уравнения (1),

где , , х - искомый, у - известный элемент, а - некоторый числовой параметр.

. (2)

- 58 -

Одновременно с этими уравнениями целесообразно рассматривать соответствующее однородное уравнение . (3)

Ясно, что однородное уравнение всегда имеет тривиальное решение.

Пусть оператор для данного значения имеет обратный оператор . Этот оператор называют разрешающим оператором или резольвентой. Тогда неоднородное уравнение типа (1) или (2) при любом имеет решение и при том только одно. Однородное уравнение имеет в этом случае лишь нулевое решение. Такие значения параметра называются регулярными значениями оператора .

Другими словами, значения параметра , для которых уравнение (1) имеет при любой правой части единственное решение, а оператор - ограничен, называют регулярными значениями оператора .

Все значения параметра , не являющиеся регулярными, образуют спектр оператора .

Может случиться, что при данном значения параметра однородное уравнение (3), кроме нулевого, имеет еще одно или несколько решений, отличных от нуля. Такие значения параметра называются характеристическими числами или собственными значениями оператора . Так как в этом случае решение уравнения (2) неоднозначно, то собственные значения принадлежат спектру.

Однако могут существовать точки спектра, не являющиеся собственными значениями.

Пример 1.

Пусть в пространстве задан оператор . Неоднородное уравнение запишется в виде: .

Если , то при уравнение имеет единственное непрерывное решение . Следовательно, значения параметра - регулярные значения оператора.

- 59 -

Пусть и пусть при , т. е. .

Следовательно, при неоднородное уравнение не имеет решения

для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность параметра

спектру оператора.

Вместе с тем, ни одна точка спектра не является собственным значением оператора, т.к. решение однородного уравнения при любом , а в силу непрерывности и при обращается в ноль, то есть, тождественно равно нолю.

Пример 2.

Пусть и пусть оператор А задается квадратной матрицей , . Уравнение (1) в этом случае имеет вид:

,

, (4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

.

Если , то есть не корень уравнения , то система уравнений (4) имеет при любом единственное решение и, значит, все эти - регулярные.

Корни уравнения образуют спектр оператора, т. к. система (4) в общем случае неразрешима. Однако, для этих однородная система () имеет нетривиальные решения, следовательно, любая точка спектра есть собственное значение.

27.