<<
>>

27. ОПЕРАТОРЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

Часто вместо уравнений вида приходится рассматривать уравнения (1),

где , , х - искомый, у - известный элемент, а - некоторый числовой параметр. Уравнение (1) можно также записать в виде:

. (2)

- 58 -

Одновременно с этими уравнениями целесообразно рассматривать соответствующее однородное уравнение . (3)

Ясно, что однородное уравнение всегда имеет тривиальное решение.

Пусть оператор для данного значения имеет обратный оператор . Этот оператор называют разрешающим оператором или резольвентой. Тогда неоднородное уравнение типа (1) или (2) при любом имеет решение и при том только одно. Однородное уравнение имеет в этом случае лишь нулевое решение. Такие значения параметра называются регулярными значениями оператора .

Другими словами, значения параметра , для которых уравнение (1) имеет при любой правой части единственное решение, а оператор - ограничен, называют регулярными значениями оператора .

Все значения параметра , не являющиеся регулярными, образуют спектр оператора .

Может случиться, что при данном значения параметра однородное уравнение (3), кроме нулевого, имеет еще одно или несколько решений, отличных от нуля. Такие значения параметра называются характеристическими числами или собственными значениями оператора . Так как в этом случае решение уравнения (2) неоднозначно, то собственные значения принадлежат спектру.

Однако могут существовать точки спектра, не являющиеся собственными значениями.

Пример 1.

Пусть в пространстве задан оператор . Неоднородное уравнение запишется в виде: .

Если , то при уравнение имеет единственное непрерывное решение . Следовательно, значения параметра - регулярные значения оператора.

- 59 -

Пусть и пусть при , т. е. . Тогда равенство: не может тождественно удовлетворяться ни при какой непрерывной функции , ибо в точке правая часть равна нулю, а левая - отлична от нуля.

Следовательно, при неоднородное уравнение не имеет решения

для произвольной правой части, что и доказывает принадлежность параметра

спектру оператора.

Вместе с тем, ни одна точка спектра не является собственным значением оператора, т.к. решение однородного уравнения при любом , а в силу непрерывности и при обращается в ноль, то есть, тождественно равно нолю.

Пример 2.

Пусть и пусть оператор А задается квадратной матрицей , . Уравнение (1) в этом случае имеет вид:

,

, (4)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ,

.

Если , то есть не корень уравнения , то система уравнений (4) имеет при любом единственное решение и, значит, все эти - регулярные.

Корни уравнения образуют спектр оператора, т. к. система (4) в общем случае неразрешима. Однако, для этих однородная система () имеет нетривиальные решения, следовательно, любая точка спектра есть собственное значение.

27.

<< | >>
Источник: Шпаргалка по предмету - Функциональный анализ.. 2017

Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House

Воспользуйтесь формой поиска

27. ОПЕРАТОРЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА.

релевантные научные источники:
  • Обоснование параметров и режимов работы плющилки влажного зерна
    Одегов Владислав Анатольевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Киров - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 9.92 Мб
    05.20.01 - технологии и средства механизации сельского хозяйства. ВВЕДЕНИЕ Одно из важнейших условий высокоэффективного производства животноводческой продукции - обеспечение животных полноценными
  • Анализ и методика оценки параметров малык ГЭС
    Барков Константин Владимирович | Диссертация на соискание учёной степени кандидата технических наук | Диссертация | 2005 | docx/pdf | 18.33 Мб
    Специальность 05.14.08 "Энергоустановки на основе возобновляемых видов энергии". Санкт-Петербург 2005 ВВЕДЕНИЕ 4 ГЛАВА I. ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МАЛОЙ ГЭС КАК ИСТОЧНИКА АЛЬТЕРНАТИВНОГО ЭНЕРГОСНАБЖЕНИЯ
  • Оценка параметров точности реальных червячных передач в составе приводов с установившимся движением
    Аккерман Владимир Владимирович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Омск - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | docx/pdf | 6.15 Мб
    Специальность - 05.02.02 - Машиноведение, системы приводов и детали машин. ВВЕДЕНИЕ Точность - один из важнейших показателей качества машин, существенно влияющий на все критерии работоспособности их
  • Совершенствование гидропривода грузоподъемных механизмов подъемно-транспортных и строительно-дорожных машин
    Ереско Александр Сергеевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Красноярск - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | docx/pdf | 8.45 Мб
    Специальность: 05.02.13 - Машины, агрегаты и процессы (машиностроение). ВВЕДЕНИЕ В практике грузоперевозок, и строительства широко применяются специализированные мобильные машины, осуществляющие
  • Основы программирования
    Иванова Г.С | | Учебник | 2002 | pdf | 12.9 Мб
    Изложены основные теоретические положения разработки программного обеспечения с использованием структурного и объектно-ориентированных подходов. Подробно рассмотрены основные приемы решения задач
  • Информационные системы
    Избачков Ю. С., Петров В. Н. | | Учебник | 2006 | pdf | 10.78 Мб
    Основное внимание в книге уделяется вопросам разработки клиентской части информационных систем с использованием приложений Delphi. В то же время в ней содержится большое количество практического
  • Ответы на тест к экзамену по дисциплине «Финансовая информатика»
    | Тесты с ответами | 2016 | Россия | docx | 0.12 Мб
    Программа, на основе которой машина преобразует вводимые в нее команды на машинный язык, называется: транслятор. Транслятор, который переводит каждую команду программы с одновременным её выполнением
  • Оптимальные методы решения интегральных уравнений вольтерра й их приложения
    Тында Александр Николаевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. Пенза - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | docx/pdf | 2.51 Мб
    Специальность 05.13.18. — Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ. Актуальность темы. Аппарат интегральных уравнений прочно вошел в физику (теория волн на поверхности
  • Разработка и исследование компьютерной модели управления качеством продукта ректификации в насадочной колонне периодического действия
    Щербина Оксана Юрьевна | Специальность 05.17.08 -Процессы и аппараты химических технологий. Бийск - 2004 | Диссертация | 2004 | Россия | doc/pdf | 3.04 Мб
    Специальность 05.17.08 - Процессы и аппараты химических технологий. ВВЕДЕНИЕ До настоящего времени методы технологического расчета ректификационных установок базируются на понятиях уравнения рабочей
  • Особенности процесса сгорания в бензиновых двигателях при добавке водорода в топливно-воздушную смесь
    Смоленский Виктор Владимирович | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Тольятти - 2007 | Диссертация | 2007 | Россия | docx/pdf | 11.07 Мб
    Специальность 05.04.02 - Тепловые двигатели. Актуальность работы. Развитие автомобилестроения происходит при постоянном росте цен на энергоресурсы и ужесточении норм токсичности отработавших газов