РАСШИРЕНИЕ ОПЕРАТОРА.

Пусть в линейном нормированном пространстве задано линейное многообразие .

ТЕОРЕМА. Линейный ограниченный оператор , заданный на линейном многообразии , всюду плотном в линейном нормированном пространстве , со значениями в полном линейном нормированном пространстве может быть продолжен на все пространство без увеличения нормы.

Другими словами, на пространстве можно определить оператор такой, что для и .

Доказательство:

Пусть и . Так как всюду плотно в пространстве , то найдется последовательность такая, что при и, значит: при .

Но тогда при , то есть последовательность сходится в себе, а следовательно, в силу полноты пространства и к некоторому пределу.

Обозначим этот предел через , т.е. .

Пусть - другая последовательность, сходящаяся к .

Очевидно, что . Тогда , что означает, что . То есть оператор определен на элементах однозначно и не зависит от выбора

- 59 -

последовательности элементов , сходящейся к элементу . Если , берем для всех и тогда

.

Следовательно, построенный оператор и есть требуемое распространение оператора . Построенный оператор аддитивен, т.к.

+=,

и ограничен, так как из неравенства переходом к пределу получаем .

Из этого же неравенства следует,

что (*)

Т.к. - наименьшее значение постоянной К, при котором выполняется условие ограниченности оператора на линейном многообразии , то ясно, что при расширении области задания оператора норма не может уменьшиться и , как наименьшая постоянная К, при которой условие ограниченности будет выполнено на всем , должна удовлетворять условию .

Но неравенство здесь невозможно в силу условия (*). Следовательно: . Теорема доказана.

Указанный процесс распространения оператора называется продолжением (или расширением) оператора по непрерывности.

Единственность распространения почти очевидна. Пусть - какой-либо линейный оператор, представляющий распространение оператора на все пространство . Если и , то по непрерывности оператора : . Таким образом, оператор совпадает с оператором .

- 60 -