18. ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ
18.1.Система называется ортонормальной системой, если
. Другими словами, для ортонормальной системы
18.2. Ортонормальная система называется полной, если в H не существует элемента отличного от нуля и ортогонального всем элементам системы. Иначе - полная система в H, если из произведения
(i=1,2,...), x
следует, что
.
18.3. Можно показать, что полная ортогонормальная система в H является базисом в том смысле, что для существует разложение в сходящийся по норме ряд.
Рассмотрим подпространство , порожденное ортонормальной системой
и пусть
. По определению подпространства для
существует линейная комбинация
такая, что
. Тогда
=
+
+ =
-
+
,
где - коэффициенты Фурье элемента x относительно ортонормальной системы
. Прибавим и
- 45 -
отнимем в последнем выражении величину :
+
.
Очевидно, минимальна, если
, то есть
=
(1).
Так как - произвольно, то
.
Из неравенства (1) видим: ряд сходится, причем
(так называемое равенство Парсеваля).
Пусть теперь . Тогда из теоремы параграфа 16 можно представить
, где
, и
,
(так как , а
).
Аналогично:
((z,y)=(y,z)=0)
и . Таким образом, для
(неравенство Бесселя).
- 46 –