18. ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ

18.1.Система называется ортонормальной системой, если .

18.2. Ортонормальная система называется полной, если в H не существует элемента отличного от нуля и ортогонального всем элементам системы. Иначе - полная система в H, если из произведения (i=1,2,...), x следует, что .

18.3. Можно показать, что полная ортогонормальная система в H является базисом в том смысле, что для существует разложение в сходящийся по норме ряд.

Рассмотрим подпространство , порожденное ортонормальной системой и пусть . По определению подпространства для

существует линейная комбинация такая, что

. Тогда

= +

+ = - +,

где - коэффициенты Фурье элемента x относительно ортонормальной системы . Прибавим и

- 45 -

отнимем в последнем выражении величину : +.

Очевидно, минимальна, если , то есть

= (1).

Так как - произвольно, то .

Из неравенства (1) видим: ряд сходится, причем (так называемое равенство Парсеваля).

Пусть теперь . Тогда из теоремы параграфа 16 можно представить , где , и ,

(так как , а ).

Аналогично:

((z,y)=(y,z)=0)

и . Таким образом, для (неравенство Бесселя).

- 46 –