Матрицы линейных преобразований.
Пусть в n- мерном линейном пространстве с базисом 
,
,…,
задано линейное преобразование А.
,А,…,А- также векторы этого пространства и их можно представить в виде линейной комбинации векторов базиса:
A= a11+ a21+…+ an1
A= a12+ a22+…+ an2
……………………………….
A= an1+ an2+…+ ann
Тогда матрица А = 
называется матрицей линейного преобразования А.
Если в пространстве L взять вектор 
= x1+ x2+…+ xn, то AÎ L.
, где
……………………………..
Эти равенства можно назвать линейным преобразованием в базисе ,,…,.
В матричном виде:
, А?
, 
Пример. Найти матрицу линейного преобразования, заданного в виде: x¢ = x + y
y¢ = y + z
z¢ = z + x
x¢ = 1?x + 1?y + 0?z
y¢ = 0?x + 1?y + 1?z
z¢ = 1?x + 0?y + 1?z
A = 
На практике действия над линейными преобразованиями сводятся к действиям над их матрицами.
Определение: Если вектор переводится в вектор 
линейным преобразованием с матрицей А, а вектор в вектор 
линейным преобразованием с матрицей В, то последовательное применение этих преобразований равносильно линейному преобразованию, переводящему вектор в вектор (оно называется произведением составляющих преобразований).
С = В?А
Пример. Задано линейное преобразование А, переводящее вектор в вектор и линейное преобразование В, переводящее вектор в вектор . Найти матрицу линейного преобразования, переводящего вектор в вектор .
С = В?А
Т.е. 
Примечание: Если ïАï= 0, то преобразование вырожденное, т.е., например, плоскость преобразуется не в целую плоскость, а в прямую.