26. Линейная модель множественной регрессии
Построение модели множественной регрессии является одним из методов характеристики аналитической формы связи между зависимой (результативной) переменной и несколькими независимыми (факторными) переменными.
Модель множественной регрессии строится в том случае, если коэффициент множественной корреляции показал наличие связи между исследуемыми переменными.
Общий вид линейной модели множественной регрессии:
yi=β0+β1x1i+…+βmxmi+εi,
где yi – значение i-ой результативной переменной,
x1i…xmi – значения факторных переменных;
β0…βm – неизвестные коэффициенты модели множественной регрессии;
εi – случайные ошибки модели множественной регрессии.
При построении нормальной линейной модели множественной регрессии учитываются пять условий:
1) факторные переменные x1i…xmi – неслучайные или детерминированные величины, которые не зависят от распределения случайной ошибки модели регрессии βi;
2) математическое ожидание случайной ошибки модели регрессии равно нулю во всех наблюдениях:
3) дисперсия случайной ошибки модели регрессии постоянна для всех наблюдений:
4) между значениями случайных ошибок модели регрессии в любых двух наблюдениях отсутствует систематическая взаимосвязь, т.е. случайные ошибки модели регрессии не коррелированны между собой (ковариация случайных ошибок любых двух разных наблюдений равна нулю):
Это условие выполняется в том случае, если исходные данные не являются временными рядами;
5) на основании третьего и четвёртого условий часто добавляется пятое условие, заключающееся в том, что случайная ошибка модели регрессии – это случайная величина, подчиняющейся нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и дисперсией G2: εi~N(0, G2).
Общий вид нормальной линейной модели парной регрессии в матричной форме:
Y=X* β+ε,
Где
– случайный вектор-столбец значений результативной переменной размерности (n*1);
– матрица значений факторной переменной размерности (n*(m+1)).
Первый столбец является единичным, потому что в модели регрессии коэффициент β0 умножается на единицу;
– вектор-столбец неизвестных коэффициентов модели регрессии размерности ((m+1)*1);
– случайный вектор-столбец ошибок модели регрессии размерности (n*1).
Включение в линейную модель множественной регрессии случайного вектора-столбца ошибок модели обусловлено тем, что практически невозможно оценить связь между переменными со 100-процентной точностью.
Условия построения нормальной линейной модели множественной регрессии, записанные в матричной форме:
1) факторные переменные x1j…xmj – неслучайные или детерминированные величины, которые не зависят от распределения случайной ошибки модели регрессии εi. В терминах матричной записи Х называется детерминированной матрицей ранга (k+1), т.е. столбцы матрицы X линейно независимы между собой и ранг матрицы Х равен m+1