8. Интегральные уравнения Вольтерра I и II рода. Метод дифференцирования.

Оператор Вольтерра, как известно (см., например, [3]), не имеет ХЧ. Поэтому, в силу 2-й теоремы Фредгольма ИУ

разрешимо единственным образом.

Однородные и неоднородные ИУФ с СЯ, рассмотренные в п.п. 4, 6, сводятся к краевым задачам Штурма-Лиувилля. При этом, подстановка ядра в ИУ приводит нас к ИУВ, дифференцируя которое достаточное число раз, мы и получаем упомянутую краевую задачу. Можно указать и другие частные виды ИУВ II и I рода, которые сводятся к задачам Коши или к краевым задачам. В связи с этим приведем здесь известные формулы:

(8.1)

, (8.2)

где Ф – непрерывно дифференцируемая по и непрерывная по функция, .

Существуют различные способы сведения ИУВ к дифференциальным уравнениям, в основном связанные с дифференциальными свойствами и структурой ядра ИУ. Разберём основные из них на примерах.

Пример 8.1 Решить ИУВ.

(8.3)

Первый способ. Преобразуем (8.3) следующим образом: (8.4). Положим . (8.5), тогда . (8.6). Но из уравнения (8.4), и подстановка в (8.6) приводит нас к дифференциальному уравнению . Из (8.5) . Т.о., ИУ (8.4) эквивалентно задаче Коши:

(8.7)

Легко видеть, что функция является частным решением данного уравнения. Т.к. - общее решение однородного уравнения, то - общее решение данного уравнения. Из начального условия , т.е. , отсюда .

Идея решения, очевидно, состоит в выделении такого множителя, чтобы функция в скобках (см. (8.4)) не содержала бы интегралов после первого дифференцирования.

Второй способ. Разделим обе части ИУ (8.3) на : и сделаем замену неизвестной функции , после чего получаем ИУ , дифференцирование которого и вычисление начального условия, приводит нас к задаче (8.7).

Пример 8.2 Решить ИУ.

(8.8)

Используя свойства тригонометрических функций (так же решаются и ИУ с ядрами, порожденными аналогичным образом гиперболическими функциями), продифференцируем два раза обе части (8.8), после чего, очевидно, получаем тот же интеграл, выразить который можно из исходного уравнения. Итак, используя формулу (8.1), получим:

;

Т.о. .

Рассмотрим теперь ИУВ I рода

(8.9)

Предположим, что ядро и все его частные производные по нужного порядка являются непрерывными функциями. Необходимым условием разрешимости (8.9) является условие

(8.10) (8.10)

Если это условие выполнено, то при сделанном предположении, левая часть (8.10) также непрерывно дифференцируема, а, следовательно, правая часть также должна быть дифференцируема. По формуле (8.1):

(8.11)

Если на , то разделив на обе части (8.11), получаем ИУВ II рода. Когда на (случай: - особый, приводит к так называемым ИУВ III рода), то получаем опять ИУВ I рода, с которым поступаем аналогично. При этом имеем следующие необходимые условия разрешимости: