7. Интегральные уравнения Фредгольма I рода. Теорема Пикара.

Рассмотрим ИУФ I рода (7.1).

Если (7.1) разрешимо, то, как известно (см., напр., [2]), не для любой правой части . Если интегральный оператор в левой части (7.1) обратим, то обратный к нему не является непрерывным и, поэтому, незначительное изменение правой части ИУ (7.1) может привести к значительному изменению решения. По этой причине ИУФ I рода относят к классу так называемых некорректных задач. Отметим также, что если ИУ (7.1) с вырожденным ядром разрешимо, то решение этого уравнения не единственно по причине необратимости соответствующего интегрального оператора.

Можно, однако, указать достаточно широкий класс ЯФ, для которых ИУ (7.1) имеет единственное решение.

Теорема Пикара. Пусть ОФ обратим и самосопряжен. Тогда ИУ разрешимо тогда и только тогда, когда ряд сходится, где - ХЧ, - ортонормированная система ОФ оператора . Если указанный ряд сходится, то решение уравнения находится по формуле

(7.2)

Отметим, что существует много обобщений теоремы Пикара на более широкий класс интегральных операторов (например, для обратимых нормальных операторов Фредгольма или для ОФ , для которых сходится ряд, составленный из ХЧ и СФ оператора , а принадлежит множеству значений оператора K – см., напр., [4] ).

Пример 7.1 Разрешимо ли ИУ ?

Решение. Левая часть ИУ для любой - функция вида , которая ни при каких и не равна на функции . Т.о. ИУ решений не имеет.

Пример 7.2 Разрешимо ли уравнение

Решение. Запишем ИУ в виде , где константы и определяются равенствами:

(7.3)

Т.к. левые части системы (7.3) являются линейными непрерывными функционалами в и, при этом, как легко проверить, (7.4), где и упомянутые функционалы, а такие, что

, то общее решение системы, а, значит, и уравнения следует искать в виде (7.5), где -неизвестные константы. Например, можно взять . Подставляя (7.5) в систему (7.3), получим

где

- произвольная функция, обращающая в нуль оба интеграла из левых частей системы (7.3).

Легко видеть, что функции могут быть выбраны бесконечным числом способов, при этом в решении ИУ в каждом таком случае будут меняются также и . Такая “многозначность” решения связана, конечно, с необратимостью ОФ с вырожденным ядром.

Пример 7.3 С помощью теоремы Пикара выяснить, разрешимо или нет, ИУ (7.6), где .

Решение. Отметим вначале, что интегральный оператор в левой части ИУ обратим (проверку см. в примере 4.1), - СЯ.

Т.к. - ХЧ этого оператора, то осталось проверить сходимость числового ряда из теоремы Пикара, составленного по ХЧ и коэффициентам Фурье. Поскольку СФ данного интегрального оператора и правая часть уравнения (7.6) – линейная комбинация этих функций, то коэффициенты Фурье правой части по системе легко найти: , , .

Т.о., в данном случае указанный числовой ряд является конечной суммой и, поэтому, все условия теоремы Пикара выполнены.

По формуле (7.2) находим решение ИУ:

Пример 7.4 С помощью теоремы Пикара выяснить разрешимо или нет ИУ

Решение. Как известно, (см. пример 4.2) соответствующее однородное ИУ II рода имеет ХЧ и СФ, определяемые формулами (4.9) и (4.13) и данный интегральный оператор с СЯ обратим. Найдем коэффициенты Фурье правой части ИУ по системе СФ:

(7.7)

Отсюда ряд

расходится, т.к. (см. решение примера 4.2). Т.о., данное ИУ не разрешимо.

Подробнее об этих ИУ см. в [7], [8].

Упражнения: а) Какие из данных ИУ вида (7.1) разрешимы? Если ИУ разрешимо, найти его решение (см. табл.7.1).

Таблица 7.1

№ п/п				№ п/п
7.1				7.6
7.2				7.7
7.3				7.8
7.4				7.9
7.5				7.10

б) Какие из данных уравнений вида (7.1) разрешимы? Если ИУ разрешимо, найти его решение (см. табл.7.2, в которой указаны только правые части уравнения. В клетках, соответствующих ядрам, указаны номера из табл.6.1).

Таблица 7.2