Схема исследования неоднородного интегрального уравнения Фредгольма II рода.

1. Если ИУ (5.3) не имеет характеристических чисел, то ИУ (5.1) разрешимо , единственным образом.

2. Если ИУ (5.3) имеет характеристические числа, то ИУ (5.1) разрешимо , единственным образом.

3. Если , то ИУ

разрешимо тогда и только тогда, когда ортогональна любому решению уравнения

Пример 5.1 При каких значениях параметра разрешимо уравнение:

(5.4)

Решение. Решим однородное сопряженное уравнение

(5.5)

Это уравнение с вырожденным ядром. Оно сводится (см. пример 3.1) к однородной системе :

. Т.о., на основании п.2 схемы, ИУ (5.4) разрешимо единственным образом.

Осталось рассмотреть случаи .

Продолжим решать ИУ (5.5). Найдем СФ уравнения (см. решение примера 3.1):

; .

Пусть .

Т.к. , то ИУ (5.4) разрешимо при .

Если же , то и , следовательно, ИУ (5.4) при не разрешимо (см. пункт 3 схемы).

Ответ: Данное ИУ разрешимо единственным образом. При ИУ (5.4) разрешимо, а при - не разрешимо.

Пример 5.2. При каких значениях параметров разрешимо уравнение:

(5.5)

Решая соответствующее однородное сопряженное ИУ и действуя так же как и при решении примера 3.1, приходим к системе

Отсюда (см. п.2) ИУ (5.5) разрешимо , в частности единственным образом.

Т.к. при ранг матрицы системы равен 0, то фундаментальная система решений системы состоит из двух решений:

, , откуда , ─ СФ (решения) однородного сопряженного ИУ.

При (см.п.3) ИУ (5.5) разрешимо для тех и только тех, для которых , то есть

Отсюда и, т.о., при

ИУ (5.5) разрешимо при и при .

Ответ. ИУ (5.5) при разрешимо ; при интегральное уравнение (5.5) разрешимо при и .

Пример 5.3. При каких значениях параметров разрешимо уравнение:

, (5.6)

Т.к. , то решая соответствующее однородное уравнение (см. пример 4.2), приходим к выводу (п.2 схемы), что для любого исходное уравнение разрешимо единственным образом .

Пусть . Соответствующая СФ (с точностью до константы). При указанном исходное ИУ разрешимо, если (см. п. 3 схемы)

т.к. из (4.8) следует, что . Т.о., при исходное ИУ разрешимо, если выплнено условие

Пусть - произвольное фиксированное. Соответствующая СФ - (с точностью до константы). Поэтому исходное ИУ разрешимо при , если

т.к.

согласно (4.12) . Т.о., при условие разрешимости исходного уравнения имеет вид:

Ответ : ИУ (5.6) разрешимо единственным образом для любых

при любом ; при ИУ (5.6)

разрешимо при , если же - произвольное фиксированное число, то ИУ (5.6) разрешимо, если (для любых двух различных значений полученные условия, очевидно, различны).