5. Теоремы Фредгольма. Схема исследования неоднородного интегрального уравнения Фредгольма II рода.
Теоремы Фредгольма формулируют условия разрешимости ИУ
(5.1)
в терминах свойств решений соответствующих однородных уравнений:
(5.2)
(5.3)
ИУ (5.1) - (5.3) в операторном виде записываются так:
.
1-я теорема Фредгольма. ИУ (5.1) разрешимо тогда и только тогда, когда ортогонально любому решению ИУ (5.3).
2-я теорема Фредгольма. ИУ (5.1) разрешимо тогда и только тогда, когда ИУ (5.2) имеет только тривиальное решение. Если это условие выполнено, то ИУ (5.1) имеет единственное решение.
3-я теорема Фредгольма. Количество линейно независимых решений ИУ (5.2) и (5.3) одинаково и конечно.
В частности, из этих теорем следует конечномерность собственных подпространств, отвечающих ХЧ соответствующих однородных уравнений (5.2) и (5.3), равенство их размерностей и соотношение
,где
Предлагаемая для исследования ИУФ схема, является оптимальной (ср. с [ 8 ], см. также [7,9])..