6. Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма II рода с симметрическими ядрами.

Рассмотрим ИУ вида , (6.1) где .

Пусть - ХЧ и ортонормированная система СФ соответствующего однородного уравнения. Хорошо известны два метода решения ИУ(6.1) (см., напр., [1,8]):

1-ый метод (разложение решения в ряд Фурье по СФ однородного уравнения). Решение ИУ (6.1) находится по формуле Шмидта:

а) (6.2)

б) кратности - СФ, отвечающие ХЧ . ИУ (6.1) разрешимо тогда и только тогда при , когда . Если эти условия выполнены, то для указанного .

(6.3)

где - произвольные константы. Т.о., для любого , для которого , получается отдельное решение вида (6.3).

2-ой метод (приведение к неоднородной краевой задаче).

Реализуется лишь в том случае, когда самосопряженное ядро К

ИУ является функцией Грина некоторой самосопряженной краевой задачи.

Сведение ИУ (6.1) к краевой задаче производится так же как и для однородного уравнения.

Пример 6.1 Решить двумя способами ИУ

1-ый способ Решая однородное ИУ так же как и в примере 4.1, находим ХЧ и СФ и, т.о., и , N.

Находим коэффициенты Фурье:

(6.5)

1) Пусть Тогда по формуле Шмидта (6.2) в силу равенств (6.5)

(6.6)

2) Пусть . Из равенств (6.5) следует, что ИУ (6.4) разрешимо лишь только в случае, когда . Используя формулу Шмидта (6.3) и равенства (6.5), получаем:

(6.7)

где - произвольные константы.

2-ой способ Запишем ИУ (6.4) в виде

(6.8)

и дважды последовательно продифференцируем обе его части:

Из (6.8) и из равенств следует, что удовлетворяет неоднородной краевой задаче .

Найдём вначале частное решение дифференциального уравнения. Если , то и после подстановки в уравнение из равенства двух полиномов получаем:

. Если , то является корнем характеристического полинома кратности 2, поэтому . Действуя аналогично, приходим к равенству . Т.о.,

Т.к. , то достаточно рассмотреть 3 случая:

а) . Подставим краевые условия:

Отсюда (6.9)

б) - характеристическое уравнение, корни которого и, следовательно, .

Из краевых условий получаем систему:

(6.10)

с главным определителем . Если , , то система совместна и определенна. Решение её:

, откуда после несложных вычислений получаем :

(6.11)

Выясним, разрешимо ли ИУ (6.4) при . Подставим эти значения в систему (6.10):

Очевидно, при четном система совместна, а при нечетном – несовместна.

В первом случае :

(6.12)

в) . Аналогично, если , то

(6.13)

Т.к.

для любого ИУ (6.4) разрешимо единственным образом для любой правой части ( в силу 2-й теоремы Фредгольма, то используя равенства (6.9), (6.11) и (6.13), получаем, что при

(6.14)

При каждом четном ИУ (6.4) имеет бесконечное множество решений.

(6.15)

При нечетном ИУ (6.4) не разрешимо.

Т.к. при ИУ (6.4) имеет единственное решение, то сравнивая два метода решения (формулы (6.6) и (6.14)), получаем разложение в ряд Фурье функции

= (6.16)

. Сравнивая также (6.7) и (6.16) получаем, что при любом

(6.17)

Подробнее об этих ИУ см. в [7,8].

Упражнения к п.п 4,6

а) Найти ХЧ и СФ соответствующего однородного ИУ (п. 4).

Вычислить , записать билинейное разложение К, вычислить , проверить базисность системы СФ уравнения. Решить неоднородное ИУ (6.1) двумя способами.

В данной таблице 24 примера – вместе с ядром К необходимо рассмотреть и ядро К^, которое отличается от К только переставленными неравенствами, например, для примера 6.1 . Решив ИУ двумя способами записать разложения вида (6.16) и (6.17) (см. табл. 6.1):

Табл. 6.1