6. Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма II рода с симметрическими ядрами.
Рассмотрим ИУ вида , (6.1) где
. Пусть
- ХЧ и ортонормированная система СФ соответствующего однородного уравнения. Хорошо известны два метода решения ИУ(6.1) (см., напр., [1,8]):
1-ый метод (разложение решения в ряд Фурье по СФ однородного уравнения). Решение ИУ (6.1) находится по формуле Шмидта:
а) (6.2)
б) кратности
- СФ, отвечающие ХЧ
. ИУ (6.1) разрешимо тогда и только тогда при
, когда
. Если эти условия выполнены, то для указанного
.
(6.3)
где - произвольные константы. Т.о., для любого
, для которого
, получается отдельное решение вида (6.3).
2-ой метод (приведение к неоднородной краевой задаче).
Реализуется лишь в том случае, когда самосопряженное ядро К
ИУ является функцией Грина некоторой самосопряженной краевой задачи. Сведение ИУ (6.1) к краевой задаче производится так же как и для однородного уравнения.
Пример 6.1 Решить двумя способами ИУ
1-ый способ Решая однородное ИУ так же как и в примере 4.1, находим ХЧ и СФ
и, т.о.,
и
, N.
Находим коэффициенты Фурье:
(6.5)
1) Пусть Тогда по формуле Шмидта (6.2) в силу равенств (6.5)
(6.6)
2) Пусть . Из равенств (6.5) следует, что ИУ (6.4) разрешимо лишь только в случае, когда
. Используя формулу Шмидта (6.3) и равенства (6.5), получаем:
(6.7)
где - произвольные константы.
2-ой способ Запишем ИУ (6.4) в виде
(6.8)
и дважды последовательно продифференцируем обе его части:
Из (6.8) и из равенств следует, что
удовлетворяет неоднородной краевой задаче
. Найдём вначале частное решение дифференциального уравнения. Если
, то
и после подстановки в уравнение из равенства двух полиномов получаем:
. Если
, то
является корнем характеристического полинома кратности 2, поэтому
. Действуя аналогично, приходим к равенству
. Т.о.,
Т.к. , то достаточно рассмотреть 3 случая:
а)
. Подставим краевые условия:
Отсюда (6.9)
б)
- характеристическое уравнение, корни которого
и, следовательно,
. Из краевых условий получаем систему:
(6.10)
с главным определителем . Если
,
, то система совместна и определенна. Решение её:
, откуда после несложных вычислений получаем :
(6.11)
Выясним, разрешимо ли ИУ (6.4) при . Подставим эти значения
в систему (6.10):
Очевидно, при четном система совместна, а при
нечетном – несовместна.
В первом случае :
и
(6.12)
в) . Аналогично, если
, то
,
(6.13)
Т.к. для любого ИУ (6.4) разрешимо единственным образом для любой правой части ( в силу 2-й теоремы Фредгольма, то используя равенства (6.9), (6.11) и (6.13), получаем, что при
(6.14)
При каждом четном ИУ (6.4) имеет бесконечное множество решений.
(6.15)
При нечетном ИУ (6.4) не разрешимо.
Т.к. при ИУ (6.4) имеет единственное решение, то сравнивая два метода решения (формулы (6.6) и (6.14)), получаем разложение в ряд Фурье функции
=
= (6.16)
. Сравнивая также (6.7) и (6.16) получаем, что при любом
(6.17)
Подробнее об этих ИУ см. в [7,8].
Упражнения к п.п 4,6
а) Найти ХЧ и СФ соответствующего однородного ИУ (п. 4).
Вычислить , записать билинейное разложение К, вычислить
, проверить базисность системы СФ уравнения. Решить неоднородное ИУ (6.1) двумя способами. В данной таблице 24 примера – вместе с ядром К необходимо рассмотреть и ядро К^, которое отличается от К только переставленными неравенствами, например, для примера 6.1
. Решив ИУ двумя способами записать разложения вида (6.16) и (6.17) (см. табл. 6.1):
Табл. 6.1
№ п/п | К(t,s) | f(t) | № п/п | К(t,s) | f(t) |
6.1 | ![]() | ![]() | 6.7 | ![]() | ![]() |
6.2 | ![]() | ![]() | 6.8 | ![]() | ![]() |
6.3 | ![]() | ![]() | 6.9 | ![]() | ![]() |
6.4 | ![]() | ![]() | 6.10 | ![]() | ![]() |
6.5 | ![]() | ![]() | 6.11 | ![]() | ![]() |
6.6 | ![]() | ![]() | 6.12 | ![]() | ![]() |
б) Пусть -периодическая функция. Решить ИУ
, где
и
заданы в таблице 6.2:
Табл. 6.2
№ п/п | ![]() | ![]() | ![]() | № п/п | ![]() | ![]() | ![]() |
6.13 | ![]() | ![]() | ![]() | 6.18 | ![]() | ![]() | ![]() |
6.14 | ![]() | ![]() | ![]() | 6.19 | ![]() | ![]() | ![]() |
6.15 | ![]() | ![]() | ![]() | 6.20 | ![]() | ![]() | ![]() |
1.16 | ![]() | ![]() | ![]() | 6.21 | ![]() | ![]() | ![]() |
6.17 | ![]() | ![]() | ![]() | 6.22 | ![]() | ![]() | ![]() |
Каждая из задач предполагает решение двух ИУ:
(6.18)
Указание: Вычислить записанный в (6.18) интегральный оператор на базисных в элементах
.
Скачать готовые ответы к экзамену, шпаргалки и другие учебные материалы в формате Word Вы можете в основной библиотеке Sci.House
6. Неоднородные интегральные уравнения Фредгольма II рода с симметрическими ядрами.
- Решение прямых задач бокового каротажа для зондов с объемными электродами для аппаратуры серии Э Кучеров Руслан Алексеевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Грозный - 1983 | Диссертация | 1983 | docx/pdf | 5.28 МбСпециальность 04.00.12 Геофизические методы поисков и разведки месторождений полезных ископаемых. Решениями ХХУІ съезда КПСС предусмотрено обеспечить в 1985 году добычу нефти (с газовым конденсатом)
- Алгоритм компактного хранения и решения систем линейных уравнений высокого порядка | Лекция | 2016 | docx | 0.23 МбВВЕДЕНИЕ. 1 ОБЗОР МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ СЛАУ, ВОЗНИКАЮЩИХ В МКЭ Точные методы решения СЛАУ Решение произвольных систем линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений. Метод главных элементов.
- Разработка современных технологий реконструкции и развития государственной геодезической сети с учетом особенностей территории Азербайджанской Республики (Том I) Годжаманов Магсад Гусейн оглы | Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук. Москва - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 18.63 МбСпециальность — 25.00.32 - Геодезия. Геодезия на современном этапе занимается решением обширного круга задач, важных как для развития цикла наук о Земле, так и для обеспечения функционирования
- Шпаргалка на экзамен по высшей математике | Шпаргалка | 2016 | docx | 0.45 МбОпределители и их свойства 2.Миноры и алгебраические дополнения 3. Методы вычисления определителей. 4.Обратная матрица.Теорема о существовании обратной матрицы. 5.Элементарные преобразованияматрицы.
- Разработка метода расчета магнитного поля в дискретно-однородных цилиндрических структурах явнополюсных электрических машин Бланк Алексей Валерьевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Новосибирск - 2005 | Диссертация | 2005 | Россия | docx/pdf | 9.67 МбСпециальность: 05.09.01 - Электромеханика и электрические аппараты. Одна из главных задач электромеханики - создание таких методов исследования электромеханических систем, которые были бы адекватны
- Вибрационные силы, их проявление в гироскопе со смещенным центром масс при вибрации основания Иванова Вероника Сергеевна | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук | Диссертация | 2003 | docx/pdf | 3.01 МбСпециальность 01.02.06. - «Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры». Томск -2003 ВВЕДЕНИЕ 6 Глава 1 ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ О ВЛИЯНИИ ВИБРАЦИИ НА ГИРОСКОПЫ СО СМЕЩЕННЫМ ЦЕНТРОМ МАСС 11
- Внешние и внутренние детерминанты личности в процессе ее социализации Шамионов Раиль Мунирович | Диссертация на соискание ученой степени доктора психологических наук | Диссертация | 2002 | docx/pdf | 10.44 МбСпециальность: 19.00.05 - Социальная психология. Саратов, 2002 ВВЕДЕНИЕ 4 РАЗДЕЛ 1. ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ИССЛЕДОВАНИЯ 18 Глава 1.1. ОБЩЕПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ И СОЦИАЛЬНО-ПСИХОЛОГИЧЕСКИЕ
- Адекватное математическое моделирование динамики полета летательных аппаратов Кубланов Михаил Семенович | Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук | Диссертация | 2000 | docx/pdf | 8.29 МбСпециальность 05.07.09 - динамика, баллистика и управление движением летательных аппаратов. Москва 2000 ПЕРЕЧЕНЬ УСЛОВНЫХ ОБОЗНАЧЕНИЙ 6 ВВЕДЕНИЕ 7 1. ОСНОВНЫЕ ПРИНЦИПЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
- Алгоритмизация и оптимизация технологического процесса ректификации нефти Кузнецов Виктор Георгиевич | Диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук | Диссертация | 2005 | docx/pdf | 5.53 Мб05.13.06 - Автоматизация и управление технологическими процессами и производствами (промышленность). Самара 2005 Введение 4 Глава 1. Процесс первичного разделения нефти как объект наблюде ния
- Вейвлет-преобразование в теории случайных процессов и квантовой теории поля Алтайский Михаил Викторович | Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук | Диссертация | 2007 | pdf | 7.04 МбДиссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.04.02 - теоретическая физика. Москва 2006 Введение 9 1 Основные сведения о непрерывном