Мартингальный подход к управлению риском платежных обязательств. Дискретное время

Будем рассматривать следующую идеализированную простейшую модель финансового рынка. Имеются два вида, ценных бумаг: акции (т. е. рисковый актив) и облигации (считающиеся безрисковым активом).

или

то портфель π называется самосринансируемым (_7Г ь rr).

На финансовом рынке, помимо основных (акции, облигации), можно формировать производные ценные бумаги. Например, форвардный контракт на покупку акции S в момент времени N — это соглашение, регламентирующее одной стороне покупку этой акции, а другой — продажу по цене F (цене поставки).

Другой контракт, европейский опцион покупателя (call) — это соглашение, дающее право одной стороне на покупку акции по цене К (цена исполнения), а другую обязывающее обеспечить продажу акции по цене К в момент N.

Еще один популярный опцион — европейский опцион продавца (put) дает право продать акцию по заранее оговоренной цене К, обязывая другую сторону в случае погашения опциона купить акцию по цене К в момент N. Если моменты погашения опционов не являются жестко зафиксированными, а фиксирован лишь верхний временной предел, то говорят об американских опционах.

Общая черта этих производных ценных бумаг — «оттянутая в будущее» выплата /\. Для форвардного контракта /у = /·’. для европейского опциона покупателя — /у = (Sn — К)+ = тах{5у — К, 0}, для европейского опциона продавца — /у = ( К — S\)'. Эти будущие платежи будем называть платежными обязательствами.

Основной проблемой является нахождение цены такого обязательства в любой момент времени. Ключевым элементом является хеджирование платежных обязательств.

Портфель 7г называется хеджем для /у. если ЛД· ^ /у (при любом возможном поведении рынка). Минимальным хеджем называется хедж с минимальным капиталом, т. е. такой хедж π*, что для любого п, для любого хеджа π и при любом возможном поведении рынка Χζ* ^ ЛД. Естественно считать ценой обязательства /у начальный капитал минимального хеджа, Xq*.

Эта формула называется паритетом цен покупателя и продавца.

Заметим теперь, что цена Qv называется безарбитражной ценой из следующих соображений: если продавец опциона продает его по более высокой цене X > CN, то, вложив CN единиц капитала в минимальный

хедж, он гарантированно получит х — Cn >0 единиц в качестве дохода, не зависящего ни от какой рыночной конъюнктуры (т, е, у продавца имеется арбитражная возможность). Аналогично, при цене х < Cn арбитражная возможность есть уже у покупателя, и, следовательно, именно безарбитражная цена является наиболее приемлемой и для покупателя, и для продавца.

Вопросы и задачи

1. Напишите программу, вычисляющую цену европейских опционов покупателя и продавца с помощью выведенных в этом параграфе формул.

2. Найдите параметры замещающего портфеля для европейского опциона покупателя в условиях рассмотренной в этом параграфе модели рынка.

3. Найдите безарбитражную цену европейского опциона покупателя в случае, когда вероятности изменения цены акции на каждом шаге свои, для N = 2.

4