ТЕОРИИ (1929)

Попробуем описать теорию просто как язык для обсуждения фактов, которые, как говорят, теория объясняет. Это не обязывает нас к философскому вопросу о том, является ли теория только языком.

Прежде всего, рассмотрим объясняемые факты. Они входят в универсум дискурса, который мы будем называть первичной системой. Эта система составлена из всех терминов и пропозиций (истинных или ложных) рассматриваемого универсума. Мы должны предполагать, что первичная система дана нам таким образом, чтобы у нас был способ записи, способный выразить каждую пропозицию. Что же должна представлять собой эта запись? В первом приближении она может состоять из имён различных типов, любые два или более из которых, соединённые вместе, дают атомарную пропозицию, например: имена а, Ь ... z, 'красное', 'раньше'. Но, я Думаю, система, которую мы пытаемся объяснить, редко относится к такой разновидности. Если, например, мы имеем дело с последовательностью переживаний, мы не пытаемся объяснить их временной порядок (ко-торый мы не можем объяснить чем-то более простым) или, если предпо-лагать какой-то порядок, что идёт первым, а или Ь. Мы считаем само собой разумеющимся, что они упорядочены и что а идёт раньше Ь и т.д., и пытаемся объяснить, какое является красным, какое синим и т.д. По существу, в 'а раньше Ь' и 'а', и 1Ь\ и т.п. на самом деле являются не именами, а описаниями, за исключением случая настоящего времени. Мы считаем само собой разумеющимся, что эти описания единственны в своём роде и вместо 'а было красным' имеем, например, 'По счёту 3-е тому н«ізад было красным'.

Можно пойти ещё дальше, ибо не только некоторые элементы нашей первичной системы, но даже все могут быть лучше представлены символически с помощью чисел. Например, цвета имеют структуру, в которой любому данному цвету может быть приписано место посредством трёх чисел, и т.п. Трактовать так можно даже запахи; наличие запаха обознача-ется посредством 1, отсутствие - посредством 0 (числами можно задать всю совокупность качеств запахов). Мы, разумеется, не можем составить пропозицию из чисел, не используя какую-то связь. То, что момент 3 имеет цвет 1 и запах 2, должно записываться как ^(3) = 1 и $3) = 2, где х и Ф соответствуют общим формам цвета и запаха и, возможно, являются фун-кциями с ограниченным числом значений. Поэтому, например, ф(3) = 55 может быть бессмысленным, поскольку 55-го запаха нет.

Даже если такая возможность есть, она не так уж и выгодна там, где мы, соответственно, имеем дело с несколькими элементами (например, с несколькими запахами). Там, где у нас есть множественность, как, например, в случае с моментами времени, мы не можем их наименовать и наша теория не будет объяснять первичную систему, в которой они имеют имена, ибо она будет учитывать не их индивидуальность, но только их распо-ложение.

Если бы все элементы были репрезентированы посредством чисел, то все пропозиции первичной системы имели бы форму утверждений о значениях, принимаемых определёнными однозначными числовыми функциями. Это были бы не математические функции в обычном смысле, ибо то, что такая-то функция имеет такое-то значение, всегда было бы предметом факта, а не делом математики.

Мы выражались так, как если бы подразумеваемые нами числа всо гда являлись целыми числами, и если правы сторонники финитной точки зрения, в исходной первичной системе это действительно должно быть так, хотя целые числа, конечно, могут принимать форму рациональны* чисел. Это подразумевает, что мы могли бы связать пару (т, п) с парой (А/«, Ал), всегда идентичной с (т, п). Если, однако, наша первичная система уже является вторичной, отталкивающейся от какой-то другой теории, действительные числа вполне могут подойти.

Это относится к первичной системе. Обратимся теперь к теоретической конструкции.

Мы начнём с типичной формы теории и позднее рассмотрим, является эта форма наиболее общей или же нет. Предположим, что атомарные про-позиции нашей первичной системы таковы: А(п), В(т, п)..., где т, п и т.д. в качестве значений принимают целые числа, подлежащие любым уточнениям, например, что в В(т, п) т может принимать лишь значения 1, 2.

Далее, введём новые пропозициональные функции а(п), р(п), у(п, т) и т.д., а под пропозициями вторичной системы будем подразумевать любую функцию истинности от значений а, (3, у и т.д. Установим также пропозиции об этих значениях, например (я). а (и)./?("), которые будем называть аксиомами, а все пропозиции вторичной системы, выводимые из аксиом, будем называть теоремами.

Кроме этого, создадим словарь, который принимает форму последовательности определений функций первичной системы А, В, С ...

Это можно пояснить на примере2. Интерпретируем числа п, п , п2, и т.д. как моменты времени и предположим, что первичная система содержит следующие функции:

А(п) = Я вижу синее в п; В(п) = Я вижу красное в и;

[ А (п) . В(п) = Я ничего не вижу в п\.

С{п) — Между п - 1 и я я чувствую, что мои глаза открыты;

D{n) = Между п - 1 и п я чувствую, что мои глаза закрыты;

Е{п) = Я делаю шаг вперёд в и;

F(«) = Я делаю шаг назад в п.

Предположим также, что мы конструируем теорию следующим способом: Во-первых, т будет пониматься как принимающая значения только 1,2,3

' Л1) = 2 < /2) = 3 /3)=1

и Дот) определяется посредством Затем мы вводим

а(п, от) = В момент п я нахожусь в месте от.

Р(п, т) = В момент п место т является синим.

у(п) = В момент п мои глаза открыты.

Аксиомы:

(п, от, от'): а{п, т). а(п, от'). =>. от = от'. (п). (Вот). а(«, от).

(«)• Р(п, 1).

(и): A", 2).a.fi(„+ 1,2).

Словарь:

Л(л) = (Вот). а(«, от). Ди, /и). }<«). ?(л) = (3m). а(п, от). Д («, т). у(п). С(п)= у(л-\).у(п). D(n)=y(n- 1).

?(л) = (3и). а(п - 1, от). а{и,Дот)}. F(«) = (3«). а{я - 1,Дот)} . а(и, от). Об этой теории можно сказать, что она репрезентирует меня как пе-ремещающегося между тремя пунктами: 'вперёд' - в смысле АБСА, 'назад' - в смысле АСВА. Место А - всегда синее, место В - попеременно синее и красное, место С - синее или красное, в соответствии с законом, который мною не обнаружен.

(\)^).{A(n)vB(n)}.{C{n)vD(n)}.{E{n)vF(n)}-

(и,, п2) {и, > п2. С(/7,). С(/72). з . (3/7,) . /7, > И3 > п2. D(/7,)};

(2і) (2) с взаимной заменой вхождений С и D.

Определим 0 (/7|, п2) как

Nd у {/?,< v n2.E(v)}

-Nd v {и, < v п2. F(v)} э 0 (mod 3)

1 2

[(Ви,). С(я,) v> /7D(v)] =>,: А(п) v fi(«);

[(З»,). D(»,). и, /7./7> v>/»,.=>,. C(v)]=>„: ~A(n)v Я (и);

(/7):.(3w):ot = 0,1 vm2\m(v,n)Z)v B(v):(m-\)(vt,n).(m-\)(v2,n)

v , ф v2(mod 2) . A (v ,) v Л (v2). B(v ,) v В (v2) [где для этой цели 0-1 =2].

Далее, их можно сравнить с аксиомами и словарём, и нет сомнений, что обычному уму аксиомы и словарь дадут законы в более удобной форме.

Теперь выразим всё это математически, записывая:

А(п) как ф(п)=1;

В(п) как ф(п) = -1;

Т(и).Д"(и) как ф(,j)=l;

С (п) как х(") = 1'»

D(n) как

С{п).Ъ(п) как %(п) = 0; Е(п) как ц/{п) = 1;

F(n) как і//(и) = -1;

~E{n).~F{n) как і//(я) = 0.

Вместо а{п, т) имеем а(п), функцию, принимающую значения 1,2, 3.

/3{п,т) „ Д/7, т) „ „ 1,-1.

У{п) „ К") » »

Нашими аксиомами сразу становятся: (1)(и). а(п)= 1 v 2 v 3; {2)(п).р(п, 1)= 1;

(я). Д/І, 2)*Ди+ 1,2);

(и, /я). fi(n, т) = 1 v-1;

(и). Ни) = 0 v 1.

Из них на (1), (4), (5) едва ли стоит обращать внимание, поскольку они просто говорят, какие значения способны принимать функции.

Наши определения превращаются в:

(0 ФІ") = К") х Pin> «("));

(ii )x(n) = y(ri)-y(n- 1);

(iii) i//(n) = остаток по модулю 3 от а(п) - а(п - 1).

В наших законах, разумеется, ф, х, Vх Должны быть такими, чтобы можно было найти а, Д у, удовлетворяющие 1-5 и i-iii. Просматривая прежние законы, мы вместо них получаем

<

•її

(2)(и,ія).

(3) (3m)

= !:=>„. ф(п) * 0;

{\)ф(п) = -\ v 0 v 1,*(«) = -! v 0 v 1, і//(и) = -1 v 0 v 1;

(Э/я). = 1 .йп)* 0;

r-m п '

(Э/и). Х>(г) = -1 =

г-я

(я) :, (Злі): Z V (') в /w(mod 3).

г-п

п'

ZH')s«-l(mod3).nW+l(mod2). . ^ = 0 v-1.

До сих пор мы демонстрировали только генезис законов; следствия возникают тогда, когда мы добавляем к аксиомам пропозиции, включающие, например, частные значения п, из которых можно вывести пропозиции в первичной системе, не имеющие форму («)... . Их мы называем следствиями.

Если взять идею теории в её математической форме, то объяснить её можно следующим образом. Вместо того, чтобы просто говорить о том, что мы знаем о значениях функций, с которыми имеем дело, мы говорим, что они могут быть сконструированы определённым способом, который задан словарём, из функций, удовлетворяющих определённым условиям, которые заданы аксиомами.

Приведём теперь пример теории. Но перед тем как перейти к систематическому обсуждению различных черт этого примера и того, встречаются ли они в любой теории, сформулируем некоторые вопросы, которые могут быть заданы относительно теории, и рассмотрим, как на них можно ответить в данном случае.

Можно ли на языке этой теории сказать нечто такое, чего мы не могли бы сказать без неё?

Очевидно, нет, ибо мы можем легко удалить функции вторичной системы и поэтому сказать в первичной системе всё, что даёт нам теория.

Можем ли мы посредством эксплицитных определений воспроизвести структуру нашей теории в рамках первичной системы?

[Этот вопрос важен, поскольку Рассел, Уайтхед, Нико и Карнап, по- видимому, предполагали, что мы можем и должны сделать это.3]

Здесь необходимо провести некоторые разграничения. Например, мы можем рассуждать следующим образом. Если необходимо предполагать

' Nicod Jean. La Сйотйігіе dans le Monde Sensible (1924); Carnap Rudolf. Der Logische Aufbau der Welt (1928).

истинность законов и следствий, факты первичной системы должны допускать определение функций со всеми свойствами функций вторичной системы, и это дайт решение нашей проблемы. Но неприятность состоит в том, что истинность законов и следствий может быть установлена посредством целого ряда различных множеств фактов, и в соответствии с каждым из этих множеств мы можем получить различные определения. Поэтому наша проблема поиска одного-единственного множества опре-делений, которое делало бы словарь и аксиомы истинными всякий раз, когда истинными являются законы и следствия, всё ещё не решена. Однако мы можем сразу же решить её формально, расчленяя первоначально полученные множества определений, т.е. если различные множества фак-тов, удовлетворяющие законам и следствиям, суть Р{, Pv Л,, а соответ-ствующие определения а(п, т) суть o(n, т)~ {А, В, С ..,, п, т}

1г {А, В, С ..., л, т} и т.д.,

мы создаём определение

а(п, т) = Я, => Lx {А, В, С ..., п, т}

Р2 -=>Ьг {А, В, С ..., п, т} и т.д.

Такое определение формально обоснованно и, очевидно, выполняет наши требования.

Возражение могут вызвать комплексность и произвольность, поскольку каждое из L{, L2..., вероятно, можно выбрать многими способами.

К тому же это эксплицитно предполагает, что наша первичная система конечна и содержит определённое число неслучайных атомарных пропозиций.

Поэтому рассмотрим, какие есть другие способы. На первый взгляд мы можем предположить, что ключ - просто в словаре. Словарь даёт определения А, В, С... в терминах а, Д у... Нельзя ли обратить его с тем, чтобы получить определения а, Д у... в терминах А, В, С...? Или, используя математическую форму, нельзя ли решить равенства для а, Р, у... в терминах ф,х, W если добавить к словарю, что мы вполне оправданно можем сделать, только лишь те законы и аксиомы, которые устанавливают, какие значения способны принимать функции?

Однако когда мы рассматриваем равенства (і), (іі), (ііі), то находим следующее. Если мы пренебрегаем ограничениями на значения, которыми обладают функции, совокупное решение, обеспечиваемое посредством }{п), может быть получено из (ІІ) так, чтобы всегда имелся множитель ф(п); т.е. в общем случае всегда имеется множитель ±1 или 0, который никогда не исчезает, если не исчезает ф(п). Это истинно, конечно, только при условиях, накладываемых на ф и % посредством законов. Предполагая эти законы и ограничение на значение, мы получаем решение

о(л) = 2 г (») + С,(тоёЗ),

О

Хл) = І +С.

о L

для а и у.

А для Дл, т) решение задаётся не определением, а, например, тривиально Ди, т) = ф(п) (предполагая, что y(ri) = 1 или 0).

Здесь Сг должно быть выбрано так, чтобы }{п) всегда равнялось 1 или 0 и значение, необходимое для этой цели, зависит от фактов первичной системы и не может быть выведено просто из законов. Фактически оно должно быть единицей или нулём:

Если существует наименьшее положительное или нулевое п, для которого %(п) ф 0, то, соответственно, х(п) для этого п есть -1 или +1.

Если существует наименьшее отрицательное и, для которого %(п) Ф 0, то, соответственно, %(п) для этого п есть +1 или -1.

Если не существует я, для которого %(п) ф 0, то безразлично, каким будет С2, +1 или-1.

Таким образом, мы получаем дизъюнктивное определение Сг и поэтому определение }{п). И снова, хотя любое значение С, будет удовлетворять ограничениям на значение о(я), вероятно, только одно такое значение будет удовлетворять аксиомам, и это значение вновь должно быть дизъюнктивно определено, И, в-третьих, (%п, т) вообще не фиксируется посредством равенств и было бы сложным делом снова попытаться различить случаи, чтобы сказать, сколько возможных решений для Дл, т) будут удовлетворять аксиомам.

Поэтому мы делаем вывод, что ни в этом, ни в общем случае нет какого-либо простого способа обратить словарь так, чтобы получить решение либо единственное в своём роде, либо с очевидностью превосходящее все другие решения, которое к тому же удовлетворяло бы аксиомам. Причина этого отчасти заключается в затруднениях с деталями решения равенств, отчасти в том факте, что вторичная система обладает большим многообразием, т.е. большими степенями свободы, чем первичная систе- каждая принимает 2 или 3 значения, и такое возрастание многообразия является, я думаю, универсальной характеристикой подходящих теорий.

Поскольку один словарь недостаточен, следующий, вселяющий надежду метод, связан с использованием и словаря, и аксиом тем способом, на который ссылаются во многих популярных рассмотрениях теорий, когда говорят, что значение пропозиции относительно внешнего мира состоит в том, что мы обычно рассматривали бы как критерий или проверку её истинности. Это предполагает, что нам следует определить пропозиции вторичной системы через их критерий в первичной.

Используя этот метод, мы, прежде всего, должны отличить доста-точный критерий пропозиции от её необходимого критерия. Если р есть пропозиция вторичной системы, то под её достаточным критерием, т.е. Ыр), мы будем подразумевать дизъюнкцию всех пропозиций q в совокуп-ности со словарём и аксиомами, такую что ~q не является следствием словаря и аксиом . С другой стороны, посредством необходимого критерия для р, т.е. z(p) мы будем обозначать конъюнкцию всех тех пропозиций первичной системы, которые следуют из р в совокупности со словарём и аксиомами.

Связь oip) и т(р) мы можем прояснить следующим образом. Рассмотрим все истинностные возможности атомарных пропозиций в первичной системе, которые совместимы со словарём и аксиомами. Обозначим такие истинностные возможности посредством г, словарь и аксиомы - посредством а. Тогда о{р) есть дизъюнкция каждого г, такая что

гра есть противоречие т(р) - дизъюнкция каждого г, такая что гра не есть противоречие.

Если посредством L мы обозначим совокупность законов и следствий, т.е. дизъюнкцию каждого рассматриваемого здесь г, тогда, очевидно, имеем

(\)o(p)\&:L .~т{~р),

(ii)x{p)\ = \L .~а(~р),

а(р) v т(~р) ,s.L.

Мы также имеем

a(prp2):s: o&J . о(рг),

ибо Pi. рг следует из q тогда и только тогда, когда из q следуют и рх, и рт Отсюда мы получаем двойственное выражение [dual]

tip^pj.s. ф,) v . Мы также имеем

а(р) з т(р)

(при рассмотренных выше г),

а(р) v а(~р). r>. L . =>. г(р) v т(~р) из (iii), и из (vi), (ii), (iii).

(viii ) о(р) . =>. ~а(~р). L , (ix) L . ~г(~р) . =>. zip). Наконец, мы имеем

Поскольку если q следует или из pt или из ру то оно следует из рх V рг, и двойственное выражение -

(xi) Кргрг) • =>. Кр,) Кр2)-

С другой стороны, и это очень важный пункт, конверсия (vi) - (xi) в общем случае не является истинной. Проиллюстрируем это, приняв (х) и рассмотрев следующее V';

В(0). А(0): п * 0 . z>n. Літі). В(гі). С(и).= .и = 0:/)(и).= ,я=1.

(и) • Еп . F,v

т.е., что глаза человека открыты только однажды, когда он видит синее. Из этого мы можем вывести а(О, 2) v а(О, 3)

Данное г э ст{о(0,2) v ф, 3)} .

Но из него мы не можем вывести а(О, 2) или а(О, 3), поскольку оно равным образом совместимо и с тем и с другим. Следовательно, ни {а(О, 2)}, ни {а(0, 3)}не являются истинными и мы не имеем

<7(0(0, 2) v 0, 3)} з сг{о(0,2)} v ?7{о(0, 3)} .

Отсюда следует, что мы не можем дать определения, такие, что еслир есть какая-то пропозиция вторичной системы, то р посредством определений будет обозначать а(р) [или альтернативно г(р)], ибо если р, определяется как а( р,), ар2 обозначает а( рг), то р, vр2 будет означать а(рп v а( р2), что в общем случае не совпадает с о( р, v р2). Поэтому мы можем использовать столько для того, чтобы определить некоторые из пропозиций вторичной системы, которые можно назвать атомарными вторичными пропозициями и из которых вытекали бы значения [meanings] других пропозиций.

Например, взяв наши функции а, Д у, мы могли бы продолжить следующим образом:

определяется как А(п) v В(п), где нет затруднений, как А(п) v В(п)

¦ <гШ} * Т{у{п)}.

Дл, т) можно было бы определить как сг{Дп, т)}, т.е. мы могли бы сказать, что место т было 'синим' в момент и, только если это можно было бы доказать. В противном случае мы сказали бы, оно не было 'синим' (проще говоря, было 'красным').

~Р (и, т) тогда означало бы {Д (и, т)}, а не а { {п, т)}.

Альтернативно мы могли бы использовать г и определить

Р (и, т) есть г{Ди, т)},

и Р (и, т) было бы Т [р (п, т)}.

В этом случае нам следовало бы говорить, что т — 'синее', всякий раз, когда нет доказательства, что оно не таково; этого, однако, можно было бы достигнуть и с помощью а, если бы мы определили Ди, т) как ~Р{п, т), а р{п, т) как а {Д(и, т)}, т.е. применяя а к Д, а не к Д

В общем ясно, что г всегда даёт то, что можно было бы получить, применяя а к противоречию. Поэтому мы можем ограничить наше внимание а.

Однако дело существенно меняется в зависимости от того, определяем ли мы посредством а р или Р , особенно в связи с пунктом 3. Ибо у нас нет ни закона относительно значений р(и, 3), ни какого-либо способа вывести их за исключением того, когда истинно а (и, 3) и истинны А(п) или В(п).

Если мы определяем /?(«, 3) как сг {/?(«, 3)}, то будем говорить, что 3 никогда не является синим, за исключением того случая, когда мы наблюдаем, что оно синее. Если мы определяем Р (и, 3) как сг{(«, 3)}, то будем говорить, что оно всегда является синим, за исключением того случая, когда мы видим, что оно не синее.

Переходя теперь к а (и, т), мы могли бы определить

а (и, 1) = а{а(п, 1)},

а(и, 1)= сг{а(и, l)v а(и,2)} . & {а(л, I)},

а (и, 3) = a{a(n,l)va(n,2)};

и для любого и истинным должно было бы быть одно и только одно из а (п, 1), аг(и, 2), а(п, 3); тогда как если бы мы просто установили

а(п, т) = а{а(п, т)}, этого бы не следовало, поскольку все

а{ф, 1)}, а{ф, 2)}, а{ф, 3)} вполне могли оказаться ложными.

[Например, если (и). А(и). В (п).

Конечно, во всех этих определениях мы должны предполагать, что а {а(п, т)} и т.д., заменяется тем, чем, согласно исчислению, как мы находим, они должны быть. Эти определения, в том виде, в котором они установлены, кажутся круговыми, но не тогда, когда интерпретируются таким способом.

Например, сг{а(п, 1)} есть L, т.е. законы (1) - (5) в совокупности с

(Зи,, и2). 2(и,, и). 2(пг, и). и, *иг (mod 2). Ви,. Bn%.

v. (Зи,, и2, и3) . 2(и,, и). 2(иг, и) . 2(и3, и). и, * и2 (mod 2) . Ап;. Апг. Вп}.

v . (Зи,, и2). 1(и|( и). 2(и2, и) . Ви,. Впг. Видимо, к таким определениям и ведёт нас популярная фраза, что значение высказывания во вторичной системе задаётся её критерием в первичной системе. Но таковы ли они, как нам требуется?

Мы хотим, чтобы при использовании этих определений аксиомы и словарь были бы истинными всякий раз, когда теория применима (т.е. всякий раз, когда законы и следствия являются истинными), т.е. чтобы интерпретированные посредством этих определений аксиомы и словарь вытекали бы из законов и следствий.

Легко показать, что это не так. Возьмём, например, последнюю аксиому на с. 163:

(«):/?(«, 2) . = . ]3(п + 1,2), которая, согласно нашим определениям, подразумевает

что явно ложно, поскольку если бы, что вполне возможно, человек никогда не открывал бы глаза в месте 2, то как ег{Д«, 2)}, так и сг{Д« + 1, 2)} были бы ложны.

[Определение посредством гне было бы лучше, поскольку г{Ди, 2)} и г{ Дп + 1, 2)} оба были бы истинными.]

Однако эта линия аргументации открыта возражению следующего сорта. Если мы принимаем эти определения, верно, что аксиомы не будут вытекать из законов и следствий, но на самом деле нет необходимости, чтобы это было так. Ибо законы и следствия не могут репрезентировать весь эмпирический (т.е. первичной системы) базис теории. С законами и следствиями, например, совместимо, чтобы человек никогда не открывал глаза в месте 2, но тогда каким образом он мог бы сформулировать данную теорию с особым законом чередования, который он приписывает месту 2? Конструируя нашу теорию посредством эксплицитных определений, мы хотим не того, чтобы аксиомы вытекали из одних законов и следствий, но из этих последних в совокупности с определёнными экзистенциальными пропозициями первичной системы, репрезентирующими переживания, которые должен иметь человек, для того чтобы быть в состоянии как-то продемонстрировать причину формулировки этой теории.

Несмотря на обоснованность этого возражения в данном случае, если принять несколько более усложнённую теорию, легко видеть, что оно не обеспечивает нас общим решением этого затруднения. Другими словами, такие пропозиции, которые могли бы быть добавлены этим способом к законам и следствиям, не всегда предоставляли бы удовлетворительный базис для аксиом. Предположим, например, что теория обеспечивает целостную систему пунктов, идентифицированную посредством последовательности переходов, необходимых для того, чтобы из одного пункта попасть в другой. Предположим, было установлено и воплощено в теории, что цвет каждого места следует усложнённому циклу, одинаковому для каждого места, но что места отличаются одно от другого относительно фазы этого цикла согласно неустановленному закону. Ясно, что такая теория могла бы быть обоснованно сформулирована человеком, который не открывал глаза ни в одном из пунктов и не имел оснований считать, что он открыл бы глаза во всех пунктах или даже вообще посетил их. Предположим затем, что т - это место, в которое он никогда не приходит, и что р (и, т) - это функция вторичной системы, означающая, что т явля-ется енним в п. Тогда, если он не знает фазу т, мы никогда не могли бы иметь <7 {Ди, от)}, но если, например, цикл даёт синий цвет один раз из шести, из аксиомы мы должны получить ДО, т) v Д1, т) v ... v Д6, т). Стало быть, у нас было бы то же самое затруднение, что и раньше.

Если наша теория должна быть сконструирована посредством явных определений, последние не могут определять просто с помощью <т(или г), но должны быть более усложнёнными. Например, относительно места 2 в нашем первоначальном примере мы можем определить

ДО, 2) как <т{Д0,2)},

Ди, 2) как <т{ ДО, 2)}, если п - чётное, ~ст{Д0, 2)}, если п - нечётное.

То есть если нам неизвестно, в какой фазе оно находится, мы предполагаем его определённость, включая это 'допущение' в наше определение. Например, говоря, что фаза является синей-чётной и красной-нечётной, мы подразумеваем, что у нас есть причина так думать; говоря же, что фаза является синей-нечётной и красной-чётной, мы подразумеваем не то, что у нас есть причина считать так, но просто имеем в виду, что у нас нет причин думать противоположное.

Но в общем и целом определения должны будут быть весьма усложнёнными. Чтобы верифицировать их полноту, мы должны были бы пройти через все случаи, удовлетворяющие законам и следствиям (вместе с какими-то другими пропозициями первичной системы, которые мы счи- таем правильным предполагать), и увидеть, что в каждом случае определения удовлетворяют аксиомам. Таким образом, в конце мы придём к чему- то очень похожему на общие дизъюнктивные определения, с которых мы начинали это обсуждение (с. 167). В лучшем случае мы получим дизъюнкции с несколькими членами и с большей связностью и целостностью их конструкции, сколько именно будет зависеть от отдельного случая.

Мы сразу же можем видеть, что (в конечной схеме) такие определения всегда возможны, а посредством а и г мы не получаем реального упрощения.

3. Мы видели, что всегда можно воспроизвести структуру нашей теории с помощью явных определений. Наш следующий вопрос: 'Является ли это необходимым для того, чтобы узаконить использование теории?'

Ответ, что это не может быть необходимым, по-видимому, ясен, или же теория ни использовалась бы вообще. Скорее, чем дать все эти определения, было бы проще оставить факты, законы и следствия в языке первичной системы. К тому же произвольность определений делает для них невозможным быть адекватными теории как чему-то, находящемуся в процессе развития. Например, наша теория не даёт какого-либо закона для цвета в месте 3. Поэтому мы могли бы, воплощая нашу теорию в явных определениях, определить место 3 как красное, если не наблюдалось, что оно - синее (или vise versa). Последующее наблюдение может теперь привести нас к добавлению к нашей теории новой аксиомы относительно цвета места 3, задающей то, как говорить о следующем цикле. Она возникала бы просто как добавок к аксиомам, другие аксиомы и словарь оставались бы неизменными.

Но если бы наша теория конструировалась посредством явных определений, то эта новая аксиома не была бы истинной, если бы мы не изменили определения, ибо она зависела бы от совершенно иного приписывания цветов месту 3 в те моменты, когда оно не наблюдалось из предыдущего места, в котором мы бы находились (что всегда в такие моменты делает его красным), а, на самом деле, из любого предыдущего места, за исключением именно того, который предписывается нашей новой аксиомой. А это мы никогда не угадали бы, используя наши определения, если бы уже не знали этой новой аксиомы. Другими словами, используя явные определения, мы ничего не можем добавить к нашей теории, не изменяя определения и, стало быть, смысла целого.

[Но, несмотря на то, что использование явных определений не может быть необходимым, я думаю, поучительно рассмотреть (как мы и делали), каким образом эти определения можно сконструировать. От этого зависит возможность их задать. Я думаю, что для полного понимания предмета это действительно существенно.]

4. Принимая затем, что явные определения не являются необходимыми, каким образом мы должны объяснить функционирование нашей теории без них?

Ясно, что в такой теории затрагиваются суждения, и эти суждения могут быть даны с помощью законов и следствий. Теория же является просто языком, в который они облечены и который мы можем использовать без разработки законов и следствий.

Лучший способ записать нашу теорию, по-видимому, таков: (3 а, Д у) : словарь. аксиомы.

Словарь будет выражен в форме эквивгщентностей.

Очевидно, что здесь а, Д ^должны браться чисто экстенсионально [extensionally]. Их объёмам [extensions] мог-ут соответствовать или не соответствовать содержания [intensions], но это безразлично к тому, что может быть выведено в первичной системе.

Любые добавления к теории, в форме Новых аксиом или же частных утверждений, типа а(О, 3), должны быть сделаны в рамках первоначальных а, Д у. Поэтому сами по себе они не являются пропозициями в строгом смысле. Точно так же совершенного значения не имеют разные предложения в сказке, начинающейся с 'Давным-давно, в незапамятные времена ...', которые поэтому не являются пропозициями.

Это создаёт как теоретическое, так и практическое различие:

Когда мы спрашиваем о значении [meaning], например, а (0, 3), оно может быть дано, только когда мы знаем, к какому перечню 'пропозиций' первичной и вторичной системы должно быть добавлено а (0, 3). Далее, в первичной системе различно значение между (Заг, Д у): список . а(О, 3) и (Заг, Д, у) . список. (В наш список мы включаем пропозиции первичной системы, хотя они и не содержат а, Д у.)

При этом подходе а (0, 3) подразумевает нечто подобное тому, что выше мы назвали г (от (0, 3)}, но между г {аг (0, 3) +список} и г (список) действительно есть различие.

На практике, если задаться вопросом: «Является ли а (0, 3) истинным?», мы должны принять установку, скорее отличную от той, которую мы приняли бы относительно подлинных пропозиций.

Ибо к нашему списку мы не добавили бы а (0, 3)}, если бы не считали, что это можно оправдать, т.е. если бы мы не предполагали, что (Заг, Д

у): список. а(0,3) является истинным. (Заг, Д, у): список. а (0,3) также может быть истинным. Мы должны были бы считать, что можем пополнить наш список (или надеяться на пополнение) и рассматривать, будет ли а(О, 3) соответствовать каким-то дальнейшим дополнениям опреде- лённо лучше, чем а (О, 3). Например, в нашей небольшой теории к

любому списку, который включает а(п, 3). v . А (я). В(л), всегда можно было бы добавить либо Ди, 3), либо (п, 3). По мы не добавляем наудачу заранее, поскольку надеемся из наблюдаемых примеров получить закон, а затем, согласно этому закону, дополнить ненаблюдаемые примеры.

Гем не менее не придавая до сих пор по ходу рассуждения значение тому, что эти функции не являются полными пропозициями, мы обеспечили любой логической комбинации такую интерпретацию, что она занимает место в области действия единственного префикса (За, /?, у). Например, /?(и,3)./?(я,3) должно быть (ЗЬ) : /?(л,3)."/?(«,3) >

ане (3/?) /?(«,3).(Э/?) Ж«,3).

Поэтому мы можем рассуждать относительно персонажей сказки в той же степени, как если бы они были определены в реальности, условившись при этом, что мы не берём то, что говорим, частично из одной сказки, а частично из другой.

Поэтому мы можем сказать, что неполнота 'пропозиций' вторичной системы воздействует на наши разногласия, но не на наше рассуждение.

5. Упоминание 'разногласий' приводит нас к важному вопросу об отношениях между теориями. Что мы подразумеваем, говоря об эквивалентности или противоречивости теорий? Или говоря о том, что одна теория содержится в другой и т.д.?

В теории мы должны различать два элемента:

То, что она утверждает: её смысл [meaning] или содержание.

Её символическую форму.

Две теории называются эквивалентными, если они имеют одинаковое содержание, противоречащими, если они имеют противоречащие содержания, совместимыми, если их содержания совместимы, и говорят, что теория А содержится в теории В, если содержание А включено в содержание В.

Если две теории эквивалентны, то между их символическими формами может быть большее или меньшее сходство. Эту разновидность со-впадения трудно, если вообще возможно, определить точно. Думается, что можно установить определённую степень сходства посредством ВОЗМОЖНОСТИ определения функций из В в терминах функций из А, или наоборот. Но это не имеет значения, если не уточнить соответствующую усложнённость определений. Если мы допускаем определения любой сте* "Єни усложнённости, тогда, по крайней мере в конечном случае, это отношение просто становится эквивалентностью. Ибо каждое множество функций может быть определено в терминах первичной системы и поэтому множество функций другой вторичной системы может быть определено посредством словаря.

Две теории могут быть совместимы, не будучи эквивалентными друг ЛРУгу, т.е. можно найти множество фактов, которые согласуются с обеими теориями Но можно найти и другое множество фактов, которые согласуется с одной, но не согласуются с другой. Приверженцы двух таких теорий вполне могут спорить друг с другом, хотя и не утверждать ничего такого, что отрицает другой. Ибо для спора не необходимо, чтобы одна

С|1С>рящая сторона утверждала р, а другая - р . Достаточно того, чтобы 0Д>га сторона утверждала нечто такое, что другая воздерживалась бы утверждать. Например, один говорит; 'Если идёт дождь, Кембридж победит', другой говорит: 'Даже если идёт дождь, они проиграют'. Эти утверждения, рассмотренные как материальные импликации (что мы и должны делать с такой точки зрения на науку), не являются несовместимыми, поскольку если дождь не идёт, оба утверждения являются истинными. ТеМ[ не менее каждый может привести доводы в пользу своей собственной уверенности и указать на отсутствие доводов у его противника.

Иногда спрашивают, имеет ли какое-то значение 'пропозиция' вторичной системы. Мы можем интерпретировать это как вопрос о том, будет ли теория, в которой эта пропозиция отрицается, эквивалентна той теории, в которой она утверждается. Это, конечно, зависит or того, что ещё по предположению содержит теория. Скажем, а нашем примере бессмысленно соединять /3 («, 3) с а(п, 3) v у («). По не соединённое таким способом оно не бессмысленно, поскольку тогда, при определённых обстоятельствах, оно исключало бы моё видение красного, тогда как ($ (п, 3) при этих обстоятельствах исключало бы моё видение синего. Возможно, что ^ти обстоятельства возникнут, и поэтому теории не являются эквивалентными. В реалистическом языке мы говорим, что могли бы это наблюдать, или, скорее, что наблюдать это возможно (поскольку 'могли бы' влечет Зависимость от нашей воли, что часто имеет место, но не имеет от-ношения к делу), но не то, что это будет наблюдаться. Даже объединённое с а (и, 3) v у (и), Ь(п, 3)может получать значение

позднее, если мы добавим к нашей теории некоторые законы относительно цвета места 3. [Хотя тогда Ди, 3), вероятно, снова являлось бы следствием или противоречило бы остальному. Я думаю, мы тогда сказали

бы, это имеет значение, поскольку Ди, 3) даёт теорию, а р (п, 3) - противоречие]

Вопрос о том, осмысленны ли пропозиции, в высшей степени уместен не только в отношении общих аксиом, которые мы включаем в нашу теорию, но также относительно частных пропозиций. Имеет ли смысл сказать, что обратная сторона Луны имеет поверхность из зелёного сыра? Если наша теория допускает в качестве возможности, что мы можем здесь продвинуться или выяснить каким-то другим способом, то это имеет смысл. Если нет, то нет, т.е. вполне уместна наша теория о Луне, а не просто наша теория о вещах вообще.

6. Мы могли бы спросить: «В какого типа теориях каждая 'пропози-ция' вторичной системы имеет значение в этом смысле?»

Я не могу ответить на это надлежащим образом, но только весьма смутно и неопределённо. Но я и не думаю, что это очень важно. Если теория должна соответствовать актуальному состоянию знания, она должна посредством словаря содержать переводы многих частных пропозиций первичной системы. Это почти достоверно будет предохранять многие 'пропозиции' вторичной системы от обладания каким-либо непосредственным значением. Например, если в теории установлено, что в момент и я нахожусь в месте 1, тогда не только для места 2 не имеет непосредственного значения быть синим в момент и, но это не имеет значения для любого другого очень удалённого от этого места в момент и + 1. Если же такие 'пропозиции' вообще должны иметь значение, то это должно быть либо потому что они, или то, что им противоречит, включены в саму теорию (тогда они не означают 'ничего' или означают 'противоречие'), либо в силу каузальных аксиом, связывающих их с другими возможными первичными фактами, где 'возможность' означает неложность в теории.

Эта каузальность, разумеется, относится к вторичной системе и должна формулироваться в теории. Кроме того, каузальные аксиомы в строгом смысле регулируют пос-ледовательность во времени. Могут быть и другие регулируемые упоря-дочивания, требуемые пространством, например непрерывность и простота. Но их можно сформулировать, только если мы уверены, что они не будут конфликтовать с будущим опытом, объединённым с каузальными аксиомами. Приписывание природе простоты, за исключением того, когда опыт доказывает противоположное, есть хорошая максима к созданию теории, но она не может вводиться в теорию в форме 'Natura поп facit saltum', за исключением тех случаев, когда мы видим, что природа поступает именно так.

Возьмём, например, проблему «Существует ли планета размеров и формы чайника?» Этот вопрос имеет значение постольку, поскольку мы не знаем, какой эксперимент мог бы эту проблему решить. Как только нам это становится известно, он теряет всякий смысл, если мы не восстанавливаем её посредством новых аксиом, например аксиомы относительно возможных для планет орбит.

Но могут сказать: «Разве вопрос с onusprobandi не проясняется определением однозначно?» Это явно подразумевает: «Обнаружим ли мы в опыте такой чайник?» Я думаю, нет, ибо имеются три случая:

Опыт покажет, что такой чайник существует.

Опыт покажет, что такой чайник не существует.

Опыт не покажет ничего.

И мы вполне можем отличить (2) от (3), хотя тот, кто возражает, может их смешать.

Этот чайник в принципе не отличается от чайника в кухонном шкафу.