Генрих Беман (Галле) ЯВЛЯЮТСЯ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ СУЖДЕНИЯ АНАЛИТИЧЕСКИМИ ИЛИ СИНТЕТИЧЕСКИМИ?[76]

Можно было бы спросить - стоит ли в то время, в кото­рое, как никогда ранее, стремительно умножаются новые познания, проблемы, теории, вновь обращаться к давно ре­шенным и принадлежащим истории вопросам, к каковым, согласно господствующему мнению, относится тема нашей статьи? Ho как раз дальнейшее развитие нашего познания, решающее изменение наших познавательных позиций и приводит нас к этой необходимости.

B этом смысле мы должны вновь поставить и решить, на основе современного состояния познания в философии и математике, также и вышеназванный вопрос, историче­ски ставший знаменитым благодаря системе Канта. Из двух составных частей эгой задачи, более важной, да и как раз решающей, несомненно является первая. Она требует, прежде всего, взять эту проблему как таковую и устано­вить ее точный смысл, если она вообще имеет какой-либо смысл - что, как известно, иногда оспаривается как фило­софами, так и математиками. Итак, сначала мы должны выяснить, что вообще может означать различение между аналитическими и синтетическими суждениями, в частно­сти, можно ли (и в какой мере) однозначно вывести смысл этого различения из разъяснений Канта, или каким образом эти разъяснения должны быть дополнены или же исправ­лены. Только после достаточного прояснения этого перво­го пункта мы сможем перейти ко второму пункту - выяс­нению природы (Einordnung) математического суждения.

I

Обратимся же теперь к вопросу о смысле Кантовского различения! Прежде всего, спросим себя: чего, собственно говоря, хочет достичь Кант при помощи этого различения? Чему оно должно служить?

Нетрудно видеть, что оно нужно для того, чтобы в пер­вую очередь в философских исследованиях отделить те суждения, которые действительно нечто утверждают и по­этому нуждаются в предметном (sachlichen) обосновании или проверке, от тех, которые ничего не утверждают о ре­альности, а скорее, так сказать, являются чем-то «само со­бой разумеющимся», для которых, таким образом, пред­метное обоснование или опровержение было бы с самого начала «неуместным».

Так, например, суждение «Каждое следствие имеет свою причину» не имеет предметного содержания, ибо следстви­ем может называться лишь то, что вызывается какой-либо причиной. B отличие от этого суждение «Каждое изменение имеет причину» является предметно-метафизическим, по­скольку его отрицание само по себе не является абсурдным. C другой стороны, рассмотрим случай, когда в рамках неко­торого геометрического доказательства высказывается суж­дение: «Или точка P лежит на прямой g, или же точка P не лежит на прямой g», с тем чтобы в дальнейшем разобрать каждый из этих двух случаев по отдельности. Здесь мы так­же скажем, что рассматриваемое суждение - или же общее суждение: «Если даны точка и прямая, то точка лежит на прямой, либо она на ней не лежит» - хотя по своему пред­мету и является геометрическим, однако в отличие от на­стоящих геометрических суждений, таких как «Если A и B суть любые две точки, то существует одна и только одна прямая g, такая что как A, так и B лежат на g», оно не имеет предметного содержания, поскольку не налагает никаких ограничений на собственно геометрический фактический материал.

Конечно, «само собой разумеется» есть нечто относи­тельное. Хотя в философии, также как и в математике, именно логическое является всегда само собой разумею­щимся, - по крайней мере, согласно привычному взгляду, который мы на данный момент пока еще не подвергаем критике, - однако так обстоят дела отнюдь не во всех нау­ках. Если мы возьмем, например, суждение «Если матери­альная точка движется прямолинейно с постоянным уско­рением, TO ее движение описывается формулой X = X() + V0 t + Vl а Л>, то здесь мы имеем по своему предмету физиче­ское, а по своему познавательному содержанию математи­ческое предложение, поскольку прямолинейное равноус­коренное движение представляется математически как раз посредством приведенной формулы. B отличие OT этого, суждение «Если материальная точка движется прямоли­нейно под воздействием постоянное силы, то ее движение описывается формулой Jt = X0 + v0t + [77]Aat2» является предметно-физическим, которое не может быть выведено из теорем чистой математики. Действительно, теоретиче­ская физика обозначает предложения первого рода как все­го лишь «аналитические», хотя при этом она, конечное же, не думает о Кантовском различении, а имеет в виду частный случай применения математического анализа. Точно также и геометрические утверждения естественным образом будут «само собой разумеется» в рамках физики, - если только мы не имеем дело с физикой Эйнштейна, - а значит, ока­жутся пустыми с физической точки зрения. Если мы пойдем дальше, например в область биологии, то в ней, наряду с ло­гическими и математическими, «самоочевидными» будут также физические и химические факты и т.д.

Если мы все же хотим провести абсолютное различие между «самоочевидными» и «содержательными» сужде­ниями, TO мы должны будем к первой группе отнести те суждения, которые, будучи логически само собой разу­меющимися, с точки зрения каждой науки, за исключени­ем, конечно, самой логики, не имеют предметного содер­жания. Логически самоочевидными являются, однако, l. законы логики и 2.

Теперь, конечно же, следует учесть, что такого рода «аналитическое» суждение обычно не с самого начала представляется частным случаем применения некоторого логического закона, но только после того, как встречаю­щиеся в нем понятия, в случае если они определены в сис­теме рассматриваемой науки, заменяются в тексте данного суждения на соответствующие определения. Например, суждение «Каждый квадрат является четырехугольным», если под квадратом понимается плоская, четырехугольная, равносторонняя и равноугольная фигура, означает, что ка­ждая плоская, четырехугольная, равносторонняя и равно­угольная фигура является четырехугольной, и тем самым представляется частным случаем применения логического закона «Каждый X, который является A и B и C и Д явля­ется В». Соответственно, суждение «Каждое следствие имеет причину», если мы вместо слов «причина» и «след­ствие» подставим их значения как первого и последнего члена каузального отношения, представляется частным случаем чисто логического предложения «Если R является каким-либо дуальным отношением, то для всякого первого члена, для которого выполнимо R, всегда существует вто­рой член, который совместно с первым членом выполняя- ет R»].

Поскольку в определения, в общем и целом, опять-таки, входят понятия, которые в свою очередь определяются, TO этот процесс замещения, естественно, нужно будет повто­рять до тех пор, пока не останется ни одного определяемо­го понятия. Поэтому, если поставленное требование вооб­ще имеет какой-либо смысл, должна быть заранее принята, в качестве уже существующей, определенная, достаточно разветвленная система понятий той области знаний, о ко­торой идет речь.

Я хотел бы показать на двух примерах, что оба условия являются действительно необходимыми.

Рассмотрим сначала суждение «На каждой прямой ле­жит, по меньшей мере, две точки». Если «точка», «прямая» и «принадлежность» точки прямой являются исходными понятиями, то это суждение имеет такую далее несводи­мую форму: «Для каждой g имеется A и отличающаяся от нее B, такие что как Af так и B находятся к g в отношении R». Однако эта форма, конечно же, не является логическим законом, и таким образом, приведенное суждение является синтетическим относительно данной системы понятий. И наоборот, дела будут обстоять по другому, если мы оп­ределим прямую и принадлежность точки прямой, путем привлечения другого исходного понятия «между». A имен­но, если под «прямой» понимается какая-либо совокуп­ность точек, которая содержит две точки A и B, и кроме то­го, только такие точки Xf которые имеют свойство, что ли­бо A лежит между X и Bf либо Xлежит между A и Bf либо B лежит между X и Af то в результате подстановки этого оп­ределения, наше суждение принимает вид «Каждая сово­купность точек, которая содержит две точки A и B ..., ..., содержит, по крайней мере, две точки» и тем самым, ока­зывается логически самоочевидным относительно второй системы понятий, т.е. аналитическим утверждением.

Рассмотрим далее суждение «Квадрат имеет только прямые углы».

Таким образом, на самом деле, кроме четкого разделе­ния на исходные понятия и производные понятия, необхо­димо требовать еще и полной определенности касательно сведения вторых к первым, т.е. что производные понятия вполне задаются именно как понятия, а не только посред­ством их объемов.

Ha основе этих соображений, мы будем в дальнейшем под аналитическим суждением понимать такое суждение, которое в результате замещения входящих в пего опреде­ляемых понятий на их определения в исходных понятиях, оказывается чисто логическим законом или же частным случаем применения логического закоиа.

♦ * *

Мне представляется несомненным, что различение меж­ду аналитическими и синтетическими суждениями может быть разумным образом истолковано только так, как это было изложено выше, ибо лишь на этой основе установ­ленное деление оказывается как самим по себе четким и ясным, так и важным с точки зрения непосредственной по­знавательной практики. Также мне кажется, что приведен­ная выше конструкция верно отражает и идеи самого Кан­та, и чтобы это четко увидеть, необходимо только очистить его изложение от некоторых присущих ему неясностей и нечеткостей.

Ha мой взгляд, решающим определением является то, которое приводится им в начале «Пролегомен»: «Ho какое бы происхождение и какую бы логическую форму не имели суждения, во всяком случае у них есть различие по содер­жанию, в силу которого они бывают или просто поясняю­щие и не прибавляют ничего к содержанию познания, или же бывают расширяющие и увеличивают данное познание; первые могут быть названы аналитическими, вторые - син­тетическими суждениями»[80]. Здесь ясно, что Кант действи­тельно хочет отделить суждения без предметного содержа­ния оттех, которые имеют предметное содержание. И имен­но к этому предварительному общему объяснению естест­венным образом примыкают следующее место из «Критики чистого разума»: «Во всех суждениях, в которых мыслится отношение субъекта к предикату (я имею в виду только ут­вердительные суждения, так как вслед за ними применить сказанное к отрицательным суждениям нетрудно), это от­ношение может быть двояким. Или предикат B принадлежит субъекту A как нечто содержащееся (в скрытом виде) в этом понятии A, или же B целиком находится вне понятия A, хотя и связано с ним. B первом случае я называю суждение ана­литическим, а во втором - синтетическим»[81]. Таким образом, Кант дает здесь практический критерий определения анали­тического или синтетического характера суждения, а имен­но для частного случая утвердительного субъектно­предикатного суждения, в то время как для случая отрица­тельного субъектно-предикатного суждения он оставляет нахождение соответствующего критерия читателю, однако он по-видимому не располагает таким критерием для произ­вольного случая. Bo многом из-за того, что в «Критике чис­того разума» частный критерий был неподходящим образом выдвинут на передний план, и возникает видимость, будто этот критерий является собственно определением, общее же - хотя и все еще очень неопределенно выраженное - объяснение этого критерия представляет для него всего лишь некоторую мотивацию.

B действительности же этот критерий является не толь­ко недостаточным из-за своего частного характера, но и попросту ложным. A именно, утвердительное субъектно­предикатное суждение вполне может быть аналитическим, т.е. логически само собой разумеющимся, без того, чтобы предикат содержался в понятии субъекта. Возьмем, напри­мер, рассмотренное выше аналитическое суждение «Каж­дое следствие имеет причину», которое явно имеет субъ­ектно-предикатную форму. Чтобы отчетливо выявить ре­шающий пункт, я противопоставлю ему другое, такое же аналитическое суждение: «Каждая причина имеет следст­вие». Если бы критерий Канта был правильным, то тогда, поскольку оба суждения являются аналитическими, как причина - или же «иметь причину» - должна предпола­гаться в понятии следствия, так и наоборот - следствие в понятии причины, т.е. в определении данной пары понятий имел бы место круг. Ha самом же деле, естественно, ни то ни другое не имеет места, но оба понятия безукоризненно объясняются, как об этом уже (см. эту же статью, с. 323) было сказано, посредством понятия каузальной связи.

Было бы поучительно рассмотреть также и другие осо­бенности изложения Канта, особенно некоторые положе­ния, которые затемняют его первоначальные идеи, такие как его замечание, что предикат аналитического суждения «в скрытом виде» содержится в понятии субъекта, мыслит­ся в нем «смутно» или «неясно», или вопрос о принципе - или, скорее, принципах - аналитических суждений; однако в данной работе это чересчур отклонило бы нас оттемы[82].

♦ * *

Теперь мы достаточно готовы к тому, чтобы непосред­ственно перейти к вопросу о логической природе геомет­рического суждения.

Даже если, как мы видели, отдельное геометрическое предложение, при известных условиях, в зависимости OT принимаемой системы геометрических понятий, может вы­ступать в качестве аналитического или синтетического су­ждения, все равно правильным будет считать, что геомет­рия «в основном» состоит из синтетических суждений, по­скольку все геометрически содержательные суждения, в частности также и аксиомы, не являются логически само­очевидным, а значит являются синтетическими.

Это соображение является таким ясным и очевидным, что на первый взгляд может показаться совершенно непо­нятным, если я скажу, что многие, даже большинство, представителей вышеупомянутой символической логики - впрочем, также как и большинство чистых математиков - объявляют геометрические предложения полностью анали­тическими, а, следовательно, геометрию - выражением чисто логических положений (Sachverhalte). Между тем, загадка легко разрешается, если заметить, что эти иссле­дователи истолковывают геометрию совершенно непра­вильно.

Чтобы это понять, рассмотрим, например, предложение «Сумма углов треугольника равна двум прямым углам». Согласно общепринятому пониманию, оно означает, что если начертить произвольный треугольник, измерить его углы при помощи транспортира и сложить получившиеся угловые величины, то в качестве суммы получится 180°. Как известно, рассматриваемое предложение можно полу­чить из аксиом геометрии - например, аксиом системы Гильберта - посредством чисто логического вывода. Ины­ми словами, истинным будет предложение «Из аксиом Гильберта следует, что сумма углов треугольника равна двум прямым углам» или «Если выполняются аксиомы Гильберта, то сумма углов треугольника равна двум пря­мым углам». B свою очередь, это предложение представля­ет логическое, т.е. аналитическое суждение.

Теперь можно рассуждать так. To, что существенным образом интересует математика и что он имеет право утвер­ждать именно как математик, это, очевидно, не то, что в ка­ждом эмпирическом треугольнике сумма углов составляет два прямых угла, а лишь то, что это свойство треугольников логически выводится из аксиом, т.е. с необходимостью ус­танавливается с их помощью. Чтобы утверждать, что ука­занное свойство выполняется для всех реальных треуголь­ников, он должен был бы прежде знать, что аксиомы, из ко­торых выводится данная теорема, выполняются для опытно­го мира. Однако последняя констатация - независимо от то­го, считаем ли мы ее вообще поддающейся проверке - ко­нечно же, не входит в задачу чистого математика как тако­вого, этот последний может, скорее, принять выведенный из аксиом материал за основу как нечто ему данное или, лучше сказать, как всего лишь составную часть своей задачи, про­блему же исследования этого материала предоставить дру­гим, будь то философ или физик. C точки зрения чистого математика, ни аксиомы, ни выводимые теоремы как тако­вые не становятся тем самым гарантированно истинными; скорее все суждения его «чистой» геометрии будут иметь форму: «Из аксиоматической системы A (логически) следует высказывание X» или (менее точно) «Если A верна, то верно и X», а значит - аналитическими[83].

He вызывает сомнений, что описанное выше понимание является разумным и оправданным; остается спорить в лучшем случае о том, заслуживает ли эта теория имя «гео­метрии», ибо для этой теории как таковой в общем являет­ся случайным то обстоятельство, что она, кроме всего про­чего, как раз допускает применение к пространственным положениям дел.

Впрочем, существует еще два других, хотя и философски до некоторой степени спорных, понимания геометрии. C од­ной стороны, «арифметическое» понимание, которое от­стаивал, например, Штуди. Оно вводит, в смысле известного соотнесения посредством картезианской системы коорди­нат, точки - скажем, на плоскости - не в качестве, как это обычно делают при другом понимании, упорядочивающих коррелятов для пар действительных чисел, а именно как ca- ми эти пары чисел, соответственно прямые - как линейные уравнения с двумя неизвестными, принадлежность точки прямой - как решение данного линейного уравнения по­средством данной пары чисел и т.д.; таким образом, это по­нимание переинтерпретирует геометрические положения B арифметические[84]. C другой стороны имеется «прагматист- ское» или «конвенциалистское» понимание Пуанкаре, кото­рое вообще не усматривает в предложениях геометрии, в ча­стности в аксиомах, никаких предметных знаний, а лишь произвольные, обусловленные соображениями целесообраз­ности, утверждения. Если мы хотим все же учесть в нашем исследовании и эти две более отдаленные возможности, то достаточно будет заметить, что в первом случае якобы гео­метрические предложения воплощают в действительности арифметические суждения, а значит наше дальнейшее ре­шение относительно арифметических суждений распростра­няется и на эти предложения, а во втором случае мы не имеем никаких суждений вообще, а значит, ни аналитических, ни синтетических суждений.

B завершение я резюмирую наш результат относитель­но геометрии, который состоит в том, что ее предложения, будучи истолкованы «предметно» - т.е. как высказывания о пространственной стороне опытной действительности, - воплощают синтетические суждения, будучи же истолко­ваны как предложения «чистой» wiu «абстрактной» геомет­рии - т.е. как высказывания о внутренних свойствах дедуктив­ных систем, - всегда воплощают аналитические суждения.

* * *

За исключением геометрии, чистая математика состоит главным образом из арифметики и таких областей, кото­рые - по крайней мере, в обычном изложении - основыва­ются на арифметике, т.е. означают лишь некоторое ее рас­ширение, как теория множеств, теория чисел, алгебра, ана­лиз и теория функций. Оставшиеся области, такие как тео­рия групп, абстрактная алгебра и т.д., характеризуются тем, что они имеют дело с системами, образованными из каких- либо элементов, если эти системы удовлетворяют опреде­ленным постулатам - в большинстве случаев называемых «аксиомами»; таким образом, они имеют логическую струк­туру уже рассмотренной абстрактной геометрии. Особое по­ложение занимает аналитическая геометрия и ее ответвле­ния, так как она может быть равным образом интерпретиро­вана и как аналитическое одеяние геометрических положе­ний, и как геометрическое истолкование аналитических взаимосвязей[85].

B любом случае, мы вправе таким образом рассматри­вать в дальнейшем арифметическое суждение в качестве прототипа тех математических суждений, относительно которых вопрос пока еще не разрешен. Также и здесь мы сначала рассмотрим различные возможности их истолко­вания.

Для арифметики также возможно «предметное» истол­кование. Оно заключается в обычном истолковании из по­вседневной жизни, когда, например, под предложением 1 + 1 имеется в виду, что одна вещь вместе с еще одной вещью образуют две вещи. Наряду с этим имеется, очевид­но, возможность понимания, аналогичного логическому истолкованию геометрии, когда 1 + 1 = 2 истолковывается как такой логический закон, который воплощает логиче­ский вывод предметного высказывания 1 + 1 = 2 из некото­рой аксиоматической системы арифметики. Наконец, существует аналогичная прагматистскому пониманию гео­метрии «формальная» арифметика, которая, в свою оче­редь, подразумевает под арифметическим предложением 1 + 1 = 2 не наглядное положение дел и не связь с логиче­ским выводом, а записанную группу знаков как таковую. Здесь я также могу, не вдаваясь в критическую оценку, и принимая во внимание нашу основную проблему, откло­нить второе и третье понимание с тем замечанием, что в одном случае мы, очевидно, опять-таки имели бы дело со сплошь аналитическими суждениями, а во втором случае, наоборот, вообще не с суждениями, ни с аналитическими, ни с синтетическими, и в дальнейшем могу сконцентриро­ваться на вопросе о природе арифметического суждения, истолкованного предметно, несомненно, самом важном с философской точки зрения.

Итак, давайте обратимся непосредственно к нашей цели и спросим: является ли высказывание, что одна вещь и еще одна вещь образуют вместе две вещи, аналитическим или синтетическим? Иными словами, является ли оно чисто логическим законом - о том, что оно представляет частный случай применения логического закона, очевидно, не мо­жет быть и речи - или нет?

C одной стороны, мы скажем, что наше предложение в любом случае обладает полной аподиктичностью логиче­ского закона. Также как мы не можем реально представить себе ложность fNichgelten] закона непротиворечия, и при­нять ее, например, в качестве предпосылки разрабатывае­мой ради эксперимента новой системы логики - без того, чтобы очень скоро не оказаться в положении человека, ру­бящего сук на котором он сидит, - точно также мы не в со­стоянии представить себе какую-либо конкретную или аб­страктную действительность, в которой наше предложение не выполнялось бы[86] - в то время как мы очень даже можем представить себе действительность, в которой, например, не выполнялась бы аксиома о параллельных или закон кау­зальности. C другой стороны, мы, конечно же, не привыкли к тому, чтобы причислять такого рода высказывания о чис­лах к законам чистой логики, а отводим им место как раз в арифметике как одной из составных частей математики.

Между тем, очевидно, что для ответа на наш вопрос решающее значение может иметь не какое-то исторически унаследованное деление учебных дисциплин, но единст­венно сущностный характер самой предметной области. Таким образом, мы должны спросить: лежит ли в основе обычного отделения логики от арифметики действительное и четко формулируемое сущностное различие или же OHO является всего лишь исторической случайностью, в край­нем случае, требованием практической целесообразности? Другими словами, является ли отделение логики от ариф­метики естественным или искусственным, и осуществимо ли оно вообще на самом деле?

Прояснение этого пункта уже потому является необхо­димым, что без него нашему определению аналитического суждения недостает полной определенности. Если пони­мать под аналитическими суждениями логические законы и частные случаи их применения, то необходимо, прежде всего, установить, какие законы должны считаться логиче­скими[87]. Мы же не можем просто объявить, что таковыми считаются те, которые можно обнаружить в учебниках по логике, но обязаны каким-то образом отличить их от дру­гих законов по существу.

Насколько я вижу, существует только один способ пре­одоления этой трудности. A именно, необходимо заново построить формальную логику не в качестве более или ме­нее обозримого набора утверждений, а как замкнутую в се­бе и ясно очерченную систему понятий и законов. Тогда станет самоочевидным, отвергает ли возведенная конст­рукция уже по самой своей природе включение в нее арифметических понятий и закономерностей как нечто су­щественно чуждое, или же, возможно, как раз по самой своей сущности не может их не содержать, и любая попыт­ка их удалить проваливается из-за прочности связей, скре­пляющих все строение. Это означает, что необходимо со всей серьезностью подойти к той идее, чтобы поднять ло­гику от науки, описывающей лежащие в основе процесса мышления закономерности, до уровня точной науки, кото­рая систематически развивает эти закономерности по ма­тематическому образцу.

Эта задача уже была осуществлена, если даже еще и не со всей желаемой полнотой и завершенностью, однако все же довольно-таки широко, а именно, как раз под именем символическойлогики, о которой я говорил в начале статьи. Тут следует, прежде всего, назвать Фреге и Рассела, кото­рым, по моему убеждению удалось ясно и безупречно до­казать, что правильно понятая логика сама включает ариф­метику, а следовательно (ср. с. 331-332) и всю чистую ма­тематику - а именно, заметим по ходу, при «предметном» истолковании ее предложений; только геометрия должна быть истолкована «логически», если мы хотим включить и ее. B соответствии с этим, существует определенная и еди­нообразная предметная область - назовем ее пока что «ло- гико-математика», - в которой логика в обычном смысле охватывает основополагающие принципы, а чистая мате­матика - отдельные ответвления. Насколько далеко про­стирается логика в узком смысле, как область основопола­гающих принципов, конечно же, относится тогда не к во­просам, имеющим принципиальное значение, а к вопросам методического и педагогического характера.

Таким образом, в этом смысле, чистая математика - понимаемая так, как это было только что объяснено, - со­держит только чисто логические, а значит, аналитические суждения.

II

Теперь мне остается только разъяснить, по крайней ме­ре, в общих чертах, каким образом при помощи символи­ческих методов можно прийти к пониманию, что чистая математика есть не что иное, как логика - что Рассел, как я полагаю не без основания, называет одним из самых зна­чительных открытий нашего времени.

Прежде всего, я выпишу список исходных понятий и

знаков логики]:

высказывание р9 q, г, s

не(отрицание) p

или (дизъюнкция) p ' q

и (конъюнкция) p . q

обусловливает (импликация) p . q, p 3 q

равнозначно (эквиваленция) p q ty = q]

вещь а, b, с; X9 у, z

понятие (свойство, отношение) f g, И\ q>9 ^, у/

присуще (единичное высказывание) fay gab

каждый (общее высказывание) xfx

имеется (частное высказывание) xfx

равно а = b

необходимо (аподиктическое высказывание) +p возможно (проблематическое высказывание) *p

Обычное для классической логики слово «суждение» заменено здесь на несколько менее эмоционально окра­шенное слово «высказывание», поскольку здесь имеется в виду лишь рассматриваемое предметное содержание, не­зависимо от того, утверждает ли его или верит ли в него кто-либо.

Пропозициональные [Aussageverkniipfungen] связки «не» и «и» не нуждаются в разъяснении, в отличие от связ­ки «или». A именно, «p или g», где p и g - какие-либо вы­сказывания, означает здесь, что выполняется по меньшей мере одно из высказываний p и g, т.е. возможно, что и оба. Так, «2*2 = 5 или 3-3 = 9» есть истинное высказывание, од­нако не в меньшей степени таковыми является и «2*2 = 4 или 3-3 = 9», в то время как «2*2 = 5 или 3-3 = 8» есть лож­ное высказывание.

Импликация обозначает, как это видно из таблицы, не что иное, как составную связку «не p или g». B соответст­вии с этим, например, «2-2 = 5 обусловливает 3-3 = 8» есть истинное высказывание, в самом деле, отрицание первого члена или (!) второй член являются истинными, точно так же истинным будет и «2*2 = 5 обусловливает 3-3 = 9», од­нако «2-2 = 4 обусловливает 3*3 = 8» есть ложное высказы­вание. Наряду с «р обусловливает g» или «р имплицирует g», мы также говорим «из p следует g» или «если p, то g»; фактически, объясненная таким образом импликация явля­ется расширением общепринятых способов выражений «обусловливает», «следует», «если», которые обычно ис­пользуются только в случае логической или предметной зависимости g отp для двух совершенно произвольных вы­сказываний p и g[88].

Связка «р равнозначно g» или «р эквивалентно g» или также - как это обычно говорит математик - , Z, ^), то тогда мы говорим о «функции-высказывании» Л» Sxy9 Fg>v и т.д. Таким образом, функция-высказывания не является ни высказыванием, ни понятием; скорее, она представляется как применение понятия к одной или не­скольким «неопределенным» или «переменным» вещам и лишь после заполнения этих пустых мест дает истинное или ложное высказывание. Такого рода функциями-вы­сказываниями являются, например, «дг есть человек», «дг яв­ляется отцом^», «Свойство ^присуще вещи дг».

Принятый для слова «каждый» символ xf означает вы­сказывание «каждая вещь имеет свойство fi>, т.е. «функ­ция-высказывание» fx для каждой вещи, подставленной вместо буквы дг, представляет некоторое истинное выска­зывание». Если мы обозначим, например, посредством f свойство «быть человеком», а посредством g - свойство «быть смертным», то высказывание «Всякий человек смер­тен» символически запишется как Jt(/V*gt), что дословно означает следующее: «Дпя каждой вещи Jt выполняется, что она не является человеком или (!) является смертным».

Соответственно, xfx (где черточка, в соответствии C принятой системой обозначений, не читается как отрица­ние) означает: «Существует (по меньшей мере) одна вещь со свойством f>. Если опять-таки /есть свойство «быть че­ловеком», а с другой CTopoHbi,g-CBoftcTBO «быть черным», то x(fx-gx) есть высказывание «Существует, по меньшей мере, одна вещь jt, которая является человеком и черным» или «По меньшей мере, один человек является черным», таким образом, воплощает классическое «Некоторые люди черные».

Равенство в данном контексте не нуждается в более подробном объяснении.

Наконец, «модальные» операции: *p означает «р явля­ется (логически) необходимым» или «p является тавтоло­гией», или, как мы можем теперь также говорить, «р явля­ется аналитическим», +p означает «р является логически возможным» или «p является непротиворечивым»; однако в последующем изложении они нам не понадобятся.

* Ф Ф

Для окончательного решения нашего основного вопро­са нам необходимо будет обратиться к двум основопола­гающим результатам современной символической логики. Сначала рассмотрим первый из них. Он заключается в том в высшей степени странном и абсолютно неожиданном от­крытии, что перечисленных немногих исходных понятий или соответствующих им исходных знаков достаточно, чтобы во всей полноте представить не только формаль­ную логику, но и чистую математику - в изложенном вы­ше смысле, т.е. при «логическом» истолковании геомет­рии - со всеми ее понятиями и закономерностями. Иными словами, в принципе, посредством использования исклю­чительно наших знаков (в случае, если имеется достаточ­ное количество знаков для переменных высказываний, ве­щей и понятий, а кроме того скобки) могут быть представ­лены не одни лишь логические законы, как например, пра­вило вывода ВагЬага, но точно также и арифметическое вы­сказывание I + I = 2, великая теорема теории чисел Ферма, или же теорема о том, что непрерывная функция принима­ет все промежуточные значения. «В принципе», ибо на практике безоглядное сведение к исходным знакам очень скоро сорвалось бы из-за быстрого увеличивающегося ус­ложнения и неудобства появляющихся формульных выра­жений, а значиттакое сведение превысило бы возможности человека. B процессе реального построения поступают та­ким образом, что добавляют большее число других знаков, которые вводятся как «производные» знаки при помощи определенных констатаций, называемых «определениями», как целесообразные сокращения для некоторых выраже­ний, в конечном счете, построенных из исходных знаков[94]. B арифметике такого рода производными знаками являют­ся 1,2, +, < и т.п.

Конечно, не может быть и речи о том, чтобы осущест­вить здесь полное или даже до некоторой степени доста­точное доказательство этого утверждения, я должен тут только сослаться на «Formulario Mathematico» Пеано и «Ргіпсіріа Mathematica» Уайтхеда и Рассела. Тем не менее, я хотел бы продемонстрировать утверждаемую представи­мость на примере одного простого математического пред­ложения, а именно для арифметического высказывания 1 + 1 =2.

Сначала я записываю следующую функцию-выска­зывание:

хуІРУ , когда у равно jc». Коротко говоря: «Существует вещь такого рода, что q> присуще этой и толь­ко этой вещи». Или еще короче: «Свойство q> присуще в точности одной вещи». Теперь установим, что для свойства некоторого свойства, быть присущим B точности одной вещи, будет также использоваться сокращенное обозначе­ние 1. Это осуществляется посредством следующего опре­деления:

I присуще всем таким и только таким вещам, которые равны x или у», и она гово­рит очевидно, что свойство q> присуще в точности двум вещам. Для свойства «быть присущим в точности двум ве­щам» мы вводим сокращенное обозначение 2 посредством следующего определения:

2q> , [97]. Если/и g суть какие-либо свойства, то

f.,g,

есть условие того, что вещь Jt имеет свойство/или свойст­во g, т.е. является элементом такого класса, который обра­зуется посредством «объединения» классов, задаваемых посредством/и g. Далее,

xWx и x соответственно численности p и ѵ9 когда у/ имеет численность ф. B нашей понятийной записи:

V{. Или выра­жаясь короче и несколько свободнее: «Любой класс тогда и только тогда является объединением двух разноэлемент­ных классов численности p и ѵ9 когда ему присуща чис­ленность ф>. Это отношение между тремя свойствами клас­сов[100], иначе говоря: свойствами свойств p, v и ф а именно, то отношение, которое обычно записывают как ^+ v= ф[101].

Чтобы вернуться к частному случаю 1 + 1 = 2, мы должны подставить для переменных p, ѵи £знаки 1, 1 и 2, а затем - их значения, определенные через исходные знаки. Результатом будет:

V{ xy[x = y.z(q>. ++ Z = X' z = ^)]}.

Отсюда видно, что высказывание 1 + 1 = 2 действитель­но можно полностью представить посредством исходных понятий и исходных знаков логики и это сведение не со­держит ничего специфически математического, но в гораз­до большей степени имеет характер закона чистой логики. Это станет особенно ясно, если содержание этой формулы передать словами, в результате чего становится очевид­ным, что действительно сюда не входит ни класс, ни чис­ло[102], ни какое-нибудь другое математическое [понятие]:

Для любого свойства у/, условие, что кроме того суще­ствуют свойства q> и x> такие что существует вещь jt, такая что q> тогда и только тогда присуще какой-либо вещи у, когда у равна дг, существует вещь дг, такая что x тогда и только тогда присуще какой-либо вещи у, когда у равна дг[103], каждая вещь не имеет свойства q> или не имеет свойство x и произвольная вещь тогда и только тогда имеет свойство 0>или свойство x, когда она имеет свойство у/9 выполняется тогда и только тогда, когда существуют вещи дг и у, такие что дг не равнау и свойство у тогда и только тогда присуще какой-либо вещи z, когда г равно Jt или у".

Тем самым, переводится, хотя и стилистически небез­укоризненным образом, на разговорный[104] язык то истолко­вание предложения 1 + 1 = 2, которое представляется мне наиболее простым и естественным[105].

ф ф ф

Мы бы, однако, очень поспешили, если бы, основыва­ясь только на достигнутых пока результатах нашего иссле­дования, отрицали принципиальное разделение между ло­гикой и математикой. Ибо, если даже и оказывается, что исходные понятия в обоих случаях являются теми же са­мыми, могут все же существовать еще и различия в исходных предложениях, т.е. аксиомах, в том смысле, что для того, что­бы обосновать собственно математические положения, к тем аксиомам, которые требуются для построения логики, долж­ны быть добавлены другие исходные предпосылки нелогиче­ского характера (пусть даже выразимые через логические ис­ходные знаки) - синтетические суждения а priori.

Сначала, однако, мы должна спросить: как вообще вы­глядит аксиоматика формальной логики?

B любой аксиоматизации устанавливается отношение между двумя областями: той, которая аксиоматизируется и той, посредством которой из аксиом получают другие предложения. Первую можно назвать «предметная об­ласть», вторую - «опосредующая область». Сущность ак­сиоматического построения состоит тогда в том, что вся предметная область, так сказать, оказывается охваченной аксиомами, в то время как опосредующая область, которая предназначена для того, чтобы наводить мосты между предложениями предметной области, является, в свою оче­редь, неограниченно доступной. Так, в случае аксиоматики геометрии предметной областью является как раз геомет­рия, а опосредующей областью - формальная логика; после того, как аксиомы сформулированы, для получения теорем нельзя использовать геометрическую интуицию, HO один лишьлогический вывод.

Как же обстоит дело, когда предметной областью явля­ется сама логика? Уже из различной роли предметной об­ласти и опосредующей области - одна недоступна нам для процесса построения, другая - всегда в нашем распоряже­нии - ясно, что обе эти области по необходимости различ­ны. Что же, в случае с логикой, является опосредующей областью? Как возможно построить логику тех или иных исходных предложений, не используя при этом логические выводы?

Здесь имеется только одна разумная возможность. Сим­волически логические законы, избранные в качестве акси­ом, представляют собой формулы - назовем их «исходны­ми формулами». Если мы отвлекаемся от их содержания, а тем самым и от содержания каждой отдельной составной части, то нам, очевидно, остается только их форма, образ последовательностей знаков на бумаге. Для перехода от данной последовательности знаков как таковой к новой по­следовательности знаков, иначе говоря: для всякого, кто в состоянии только различать знаки, не зная их значения, на самом деле не существует логического вывода, а всего лишь правила - одни лишь вычислительные или игровые правила, - которые, при наличии определенных последова­тельностей знаков, позволяют записывать определенные другие последовательности знаков. Итак, к символическим исходным формулам добавляются еще формулируемые в обычном языке «исходные правила» - как показывает практика, достаточно двух исходных правил - такие, что система логической аксиоматики состоит в общей сложно­сти из трех перечней: исходных знаков, исходных формул и исходных правил.

Теперь мы можем сформулировать свой вопрос со всей строгостью: Содержит ли построенная описанным выше образом система формальной логики сама по себе также и чистую математику, или же при переходе от понимае­мой в обычном смысле формальной логики к чистой мате­матике мы нуждаемся в дополнительных исходных фор­мулах специфически математического характера?

Действительно, в имеющихся на сегодня системах опи­санного типа (типа «Ргіпсіріа Mathematica») имеется три аксиомы, за которыми, пожалуй, можно было бы признать специфически математический характер, а именно: l. ак­сиома сводимости Рассела, 2. аксиома бесконечности и 3. аксиома выбора Цермело[106].

Аксиома сводимости существенным образом обуслов­лена «теорией логических типов», построенной Расселом для устранения логических и теоретико-множественных парадоксов. Она не означает ничего иного, как искусствен­ное, самим Расселом рассматриваемое как неудовлетвори­тельное, преодоление трудности, которую влечет за собой эта теория при доказательстве некоторых основополагаю­щих математических теорем. Поэтому в той системе логи­ки, которая принята в нашем исследовании, и которая не нуждается в теории типов[107], эта аксиома может не прини­маться в расчет.

Также и вторая из названных аксиом, которая утвер­ждает существование бесконечно многих вещей, нужна как аксиома только в связи с теорией типов или сходными ог­раничениями. B нашей системе и при принятом нами зна­чении слова «вещь», она является доказуемым предложе­нием - а именно, доказуемым из аксиом, которые имеют, несомненно, логическую природу - а значит, аналитиче­ским предложением.

Аксиома выбора - важное исходное предложение тео­рии множеств - говорит, что для каждого класса, элемен­тами которого являются непустые разноэлементные клас­сы, всегда имеется, по крайней мере, один «класс предста­вителей», т.е. класс, который содержит в точности по од­ной вещи из каждого элемента первоначального класса (и никаких других вещей)[108].

Здесь, однако, возможны сомнения. Фактически аксио­му выбора невозможно вывести из более простых и более ясных предложений; должна ли, однако, она со своей сто­роны рассматриваться как необходимая истина, да и вооб- ще как истина, а не скорее как выражение чистой фикции, является спорным.

Давайте присмотримся внимательнее! Чтобы выявить решающий пункт настолько наглядно, насколько это, воз­можно, давайте помыслим вместе с Расселом некоторый класс, который состоит из бесконечного множества пар чу­лок, точнее говоря: ровно из стольких пар чулок, сколько существует натуральных чисел, так что мы, таким образом, можем думать о парах чулок, пронумерованных с помо­щью натуральных чисел. Мы едва ли сможем отрицать, что в этом случае все же должен существовать, по меньшей мере, один класс, состоящий из отдельных чулок, который содержит в точности по одному чулку из каждой пары. Дпя этого нужно всего лишь представить себе, что в каждой паре один из двух чулок произвольным образом обознача­ется как «левый»; тогда класс всех левых чулок представ­ляет собой класс требуемого типа. Таким образом, утвер­ждение этой аксиомы будет признано логически необхо­димым - ибо невозможно представить себе действитель­ность, в которой она бы не выполнялась - а значит, анали­тическим.

Конечно, на эту ситуацию можно посмотреть и не­сколько по-другому. Поскольку в рамках принимаемой здесь системы формальной логики высказывания о классах представляют всего лишь новые формулировки некоторых высказываний о свойствах - в соответствии с тем, что класс никогда не может быть задан иначе как на основе не­которого свойства, которое присуще всем его элементам и только им - логично будет также и аксиому выбора ин­терпретировать как замаскированное высказывание о свой­ствах.

Предпошлем некоторое объяснение: Некоторое свойст­во свойств F назовем «экстенсиональным», если любое конкретное высказывание Fj не изменит своего значения, если /заменить на равнообъемное свойство g, иными сло­вами, если F можно интерпретировать не только как свой­ство свойств, но и как свойство определяемых им классов1. Символически:

предложений, если обращаться с аксиомой выбора по образцу аксиом геометрии, т.е. при­соединив ее - как это делается в «Ргіпсіріа Mathematica» - в качестве условия для зависящих от нее положений. Из предложения «Каждый класс можно вполне упорядочить» мы получим, в соответствии с этим, «Если выполняется ак­сиома выбора, то каждый класс представляет собой вполне упорядоченную область». Мы можем тогда сформулиро­вать наш второй тезис в том смысле, что логика и чистая математика - последняя понимаемая теперь в установ­ленном выше смысле - действительно основываются на одних и тех же аксиомах. Здесь также не может идти речи о доказательстве этого утверждения - я снова должен тут сослаться на «Ргіпсіріа Mathematica» - даже изложение како­го-нибудь примера заняло бы слишком много места.

Итак, также и в этом смысле любое строгое разграниче­ние между логикой и математикой оказывается невозмож­ным. Мы могли бы конечно сказать, что математика начи­нается там, где мы определяем и используем такие понятия и знаки, как 1, +, < и т.д., но, естественно, такого рода раз­личение затрагивало бы лишь форму изложения, но не вы­сказывания как таковые.

Так как мы, согласно нашим двум тезисам, должны все­гда относить законы чистой математики к логическим за­конам, мы приходим к результату, что все суждения чис­той математики - если это последнее выражение пони­мать разумным образом -являются аналитическими.

* * *

Тем самым мы достигли цели нашего исследования. Нам осталось только кратко остановиться на классическом результате Канта, который противоположен нашему. Ре­шающим пунктом, конечно же, является то обстоятельство, что Кант, как это вряд ли могло быть по-другому до откры­тия Фреге и Рассела, рассматривает числа не как чисто ло­гические понятия, а наоборот, как чисто наглядные, а зна­чит внелогические данности. Конечно, его вывод о синте­тической природе арифметики является, прежде всего, ре­зультатом использования его критерия дпя аналитического характера суждений, который, как я показал, является лож­ным. Если понимать под «субъектом» суждения 7 + 5 = 12 выражение «сумма 7 и 5» (вопрос о правомерности этого оставим открытым), все равно свойство «быть равным 12» не является членом, из которого, вместе с некоторыми дру­гими членами, понятие «сумма 7 и 5» образуется как конъюнкция; однако это обстоятельство никак не мешает этому суждению быть законом чистой логики, а значит, аналитическим.

Нет нужды подчеркивать, что полученные на основе символической логики новые результаты никоим образом не умаляют общепризнанную заслугу Канта в разработке нашей проблемной области. Как мы видели, именно при­менение средств современной символической логики спо­собствовало такому ясному и безусловному оправданию Кантового различения между аналитическими и синтети­ческими суждениями, какое ранее никогда не было бы воз­можным.

Послесловие. B завершение приведем некоторые интересные для специалистов сведения о точках зрения на проблему Канта, которые ранее высказывались представителями символической логики, и которые не нашли отражения в рамках данной статьи, написанной на основе доклада, прочитанного на заседаниях ме­стных отделений Кантовского общества в Киле и Галле. На­сколько я знаю, среди специалистов по символической логике, нашим вопросом более детально занимались лишь Фреге и Ку­тюра. Ответ на этот вопрос является непосредственной целью работы Фреге l884 г. «Grundlagen der Arithmetik». Свое понима­ние Кантовского различения он выражает посредством следую­щего критерия: «Дело заключается ... в том, чтобы найти доказа­тельство [проверяемого предложения] и проследить его вплоть до исходных истин. Если при этом мы наталкиваемся только на общие логические законы и определения, то мы имеем аналити­ческую истину... Если же невозможно осуществить доказательст­во без использования истин, которые не имеют общей логиче­ской природы, а относятся к какой-нибудь конкретной области знания, то такое предложение является синтетическим». Он счи­тает предметное геометрическое суждение синтетическим (впро­чем, не подвергая сомнению принимаемую Кантом априорность такого суждения). Для оценки арифметического суждения он вы­двигает два требования: во-первых, сделать возможным построе­ние посредством логической символики абсолютно строгой дока­зательной цепочки, раскрывающей любой, самый малый ее шаг, и, во-вторых, проверить, возможно ли дать определения осново­полагающим арифметическим понятиям, прежде всего понятию числа. Ha основе своего знаменитого определения численности (которое лежит в основе нашей статьи), ему представляется, по меньшей мере, вероятным, что законы арифметики являются аналитическими суждениями и арифметика представляет собой расширенную логику.

Кутюра рассуждает о нашей проблеме в своей книге 1905 г. «Les principes des matMmatiques», в частности, в статье «La philo- sophie des ma^matiques de Kant» в «Revue de rr^taphysique et morale» 1904 г., которая перепечатана в данной книге в качестве приложения. B случае геометрии он принимает логическую ин­терпретацию и последовательно объявляет ее аналитической; в остальном - как только речь заходит о нашей теме, он сущест­венным образом опирается на Фреге. - Впрочем, его интерпрета­ция арифметики в этих двух произведениях не одна и та же. B приложении он явно имеет в виду исключительно систему арифметики Пеано, в которой понятие «натурального числа», 1 и операция +1 не определяются и тем самым рассматриваются как далее несводимые. Конечно, в соответствии с этим он мог бы обоснованно объявить аналитическими только те арифметиче­ские предложения, которые выполняются общелогически в трех неопределенно задуманных исходных понятиях Пеано. Впрочем, это подходит для такой формулы как 1 + 1 = 2 (которая здесь, ко­нечно, не имеет смысла нашего предметного предложения 1 + 1 = 2), поскольку она не предполагает никакой из аксиом Пеано, однако это не подходит, например, для формулы 1 + 2 или для самой ка­кой-нибудь аксиомы. Фактически их аналитический характер нельзя вывести из системы Пеано; скорее, для этого необходим более глубокий анализ в смысле Фреге-Рассела, как он осущест­вляется в основной части книги.