Задача Дирихле в круге.

Найти в круге радиуса R с центром в начале координат дважды дифференцируемую функцию u(x,y) , непрерывную в замкнутом круге и удовлетворяющую внутри круга уравнению Лапласа

+= 0 ( 41 )

а на границе круга L - граничному условию u|L = f(x,y)

Перейдем к полярной системе координат: x = r cos j, y = r sin j.

( 42 )

Пусть u = F(j) P( r) , тогда из ( 42 ) имеем

r2FP`` + rFP` + F``P = 0 ? (F``)/F = - [r2P`` + rP`] / P = k2

Равенство разнотипных функций приводит к некоторой константе k2 и двум ОДУ второго порядка линейным и однородным

F``(j) + k2F(j) = 0 ( 43 )

r2 P``(r) + rP`(r) - k2P(r) = 0 ( 44 )

Общее решение уравнения ( 43 ) : F(j) = A cos kj + B sin kj ( 45 )

Решение уравнения ( 44 ) ищем в виде P(r) = rm , тогда

r2 m(m – 1) rm – 2 + r m rm – 1 + k2 rm = 0 ? m2 - k2 = 0

Отсюда получаем два частных линейно-независимых решения rk , r-k и переходим к общему решению P(r) = Ck rk + Dk r-k ( 46 )

Таким образом, при любом k ? 0 функция

uk = (A cos kj + B sin kj )( Ck rk + Dk r-k) ( 47 )

является решением уравнения ( 42 ) . Из условий её непрерывности при r = 0 ? Dk = 0 при k > 0 . При k = 0 уравнения (43 ), ( 44 ) принимают вид:

F``(j) = 0 , r2P``(r) + rP`(r) = 0

и приводят к решениям F0 = A0 + B0 j , P0 = C0 + D0 ln r или

u0 = (A0 + B0 j ) (C0 + D0 ln r ) ( 48 )

Из условия периодичности функции u (r, j) = u(r, j + 2p) ? B0 = 0 , u0 = A0 / 2 и в качестве k в решении ( 47 ) могут быть только целые числа. Полная сумма таких частных решений образует тригонометрический ряд

u (r, j) = A0 / 2 + ( An cos nj + Bn sin nj ) rn ( 49 )

который также является решением уравнения ( 42 ) в силу его линейности и однородности.

A0 / 2 + ( An cos nj + Bn sin nj ) Rn = f(R, j)

Если f(R, j) удовлетворяет условиям разложения в ряд Фурье, то для An, Bn имеем

A0 = f(t) dt , An =f(t) cos nt dt , Bn = f(t) sin nt dt ( 50 )

Подставим ( 53 ) в ( 52 ) , учтем равенство cos nj cos nt + sin nj sin nt = cos n(j - t) и получим u(r, j) = f(t) [ ½ + ] dt

Пусть < 1 , j - t = t . По формуле Эйлера имеем и в квадратных скобках приходим к сходящейся геометрической прогрессии

[rn cos nt -½] = Re[] –½ = Re[] – ½ =

Окончательное решение задачи принимает форму интеграла Пуассона

u(r, j) = f(t) ( 51 )