Распространение электрических возмущений вдоль линии электропередач.
Колебательный контур это модель с сосредоточенными параметрами L, C, R. Его описывают обыкновенные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами В длинных проводах электропередач эти параметры рассредоточены и нужен другой метод описания.
Дана однородная электролиния передач длиной l . На одном конце э.д.с E0(t), на другом сопротивление Z(p). L, C, R, G - коэффициент самоиндукции, емкость, сопротивление и проводимость изоляции единицы длины этой линии. E(x, t) - разность потенциалов между точкой х и землей. i(x, t) - ток, идущий в этой точке.
Изменение напряжения 
при перемещении на единицу длины равном сумме изменения напряжения - L
, создаваемого самоиндукцией, и омического падения напряжения - Ri : = - L - Ri ( 52 )
Изменение тока 
при перемещении на единицу длины равном сумме тока утечки через емкость - С
и тока утечки через изоляцию – GE : = - С – GE ( 53 )
От системы уравнений ( 52 ), ( 53 ) 1 порядка для двух неизвестных перейдем к уравнению 2 порядка для одной неизвестной. Продифференцируем уравнение ( 53 ) по х , ( 52 ) по t , умножим его на С и вычтем из первого результата второй
= LC 
+ LG - R = 0
C помощью ( 53 ) исключим последнюю производную и получим телеграфное уравнение
= LC + (RC + LG) + RGE = 0 ( 54 )
для одной переменной E(x, t) .
Уравнение для тока i(x, t) идентично ( 54 ). Это уравнение основа теории распространения квазистационарных электрических колебаний по проводам. При условии хороших проводов R = G = 0 ( 54 ) переходит в волновое уравнение ( 7 ) ( линия без потерь).Для работы системы важны, прежде всего, предельные условия E0(t), Z(p). Если на одном конце напряжение V , а другой коротко замкнут, то
E|x = 0 = V , E|x = l = 0 ( 55 )
В системе могут происходить либо установившиеся процессы, либо устанавливающиеся. В первом случае все производные по времени равны 0 и уравнение = RG E имеет простое решение E(x) = C1 ebx + C2 e-bx , где b = 
. Из уравнения ( 52 ) находим i(x) = - 
= - 
(C1 ebx - C2 e-bx). В случае предельных условий ( 55 ) получаем следующее распределение разности потенциалов и тока вдоль линии
E(x) = V 
; i(x) = V
( 56 )
Если E0(t) синусоида с частотой 
, но процесс установившийся, то общее решение
для векторных диаграмм напряжения и тока включает экспоненты epx, e-px, где p - комплексное число. В окончательном виде
E(x) = V(x) sin [t + 
(x) ] , i(x) = I(x) sin [t + 
(x)] ( 57 )
т.е.
имеем колебания с частотой,но их амплитуда и фаза в каждой точке х собственная. Пусть в момент t = 0 произошла замена внешнего воздействия E0(t) на E’0(t). Возник другой тип колебаний и в системе пошел переходный процесс – процесс затухания колебаний 1 типа. Его описывает уравнение ( 54 ) , решение которого ищем в виде
E(x, t) = e-ht u(x, t) ( 58 )
где h – произвольный параметр. После дифференцирования в ( 54 ) перед производной появится множитель ( 2hLC - LG - RC ). Приравняем его к нулю, тогда
h = 
( 59 )
и уравнение ( 57 ) примет вид 
= 
+ 
( 60 )
где 
. В случае LG 
RC ( линия без искажений) получаем 
= 0 , h = 
и волновое уравнение = a2 ( 61 )
где а2 =1/LC. Для его решения надо определиться с граничными и начальными условиями.
Рассмотрим задачу Коши для свободного пространства, т.е. имеем только начальные условия.
E|t = 0 = f(x) , i|t = 0 = 
(x) ( 62 )
В этом случае справедливо общее решение Даламбера ( 12 )
E(x, t) = e-ht [ F1(x – at) + F2(x + at) ] ( 63 )
где F1(x – at) и F2(x + at) - произвольные функции и константа a = 1 / 
дает скорость волнового распространения возмущений вдоль всей числовой оси.
Однако, в нашей задаче напряжение и ток заданы только в интервале (0, l). За его пределами значение этих функций надо доопределять. Это позволяют сделать предельные условия типа E|x = l = 0 , которые приводят к эффекту отражения волны от границы линии. Если на интервале (l, 2l) задать распределение отраженной волны, то процесс отражения волн можно заменить на процесс движения волн вдоль оси Ох. Тогда задача Коши будет полностью правомочна.
Определим конкретный вид F1 , F2 при условии (62). Уравнения ( 52 ) , ( 53 ) при t = 0 дают |t = 0 = - 
f(x) - 
’(x) , |t = 0 = - (x) - 
f’(x)
По общей формуле решения Д’Аламбера ( 13 ) имеем
E(x,t) = ½ e-ht { [f(x + at) + f(x – at)] - 
} =
= ½ e-ht { [f(x + at) + f(x – at)] + 
[(x - at) - (x + at) ] } =
= e-ht [
1(x – at) + 2(x + at) ] ( 64 )
i(x,t) = ½ e-ht { [(x + at) + (x – at)] - 
} =
= ½ e-ht { [(x + at) + (x – at)] + 
[ f(x - at) - f(x + at) ] } =
= e-ht [1(x – at) - 2(x + at) ] ( 65 )
Отсюда следует, что в момент переключения режимов распределение разности потенциалов 1(x) = ½ [ f(x) + (x)] начинает перемещаться вдоль линии в режиме прямой волны со скоростью 1/, а распределение 2(x) = ½ [ f(x) - (x)] в режиме обратной волны и они экспоненциально затухают.
Пр. В открытую на конце цепь включается переменный ток частоты .
Первичное состояние E1(x) = 0 , i1(x) = 0 . Вторичное установившееся состояние ( 57 )
E2(x) = V(x) sin [t + (x) ] , i2(x) = I(x) sin [t + (x)]
При переходном процессе имеем состояние E2 + E , i2 + i , где E , i описывают затухание первичного состояния. При t = 0 эти суммы переходят в E1 , i1 , т.е.
E|t = 0 = ( E1 – E2) |t = 0 = - V(x) sin [(x) ] 
f(x) ,
i|t = 0 = ( i1 – i2) |t = 0 = - I(x) sin [(x) ] (x)
В результате получаем
1(x) = - ½ {V(x) sin [(x) ] + I(x) sin [(x) ] } ( 66 )
2(x) = - ½ {V(x) sin [(x) ] - I(x) sin [(x) ] } ( 67 )
Рассмотрим предельные условия. На открытом конце i|x = l = 0. Из ( 68 ) имеем 1(l – at) = 2(l + at).
2(l + х) = 1(l – х) следует, что при движении х вправо от точки l функция 2(х) эквивалентна функции 1(х), которая описывает обратное движение т.е. попытка волны выйти за пределы границы x = l приводит к её отражению, причем, её знак и величина не меняются. Функция 2(х) есть четное продолжение функции 1(х). Т.к. нас интересует затухание исходного состояния, когда E1(x) = 0 , i1(x) = 0 , то при x = 0 можем считать E|х = 0 = 0. Тогда из ( 13 ) имеем 1(x – at) = - 2(x + at). Заменим at на х. Равенство 2(l + х) = -1(l – х) отличается от предыдущего только знаком. Значить отражение волны от границы x = 0 меняет ее знак. В этом случае 2(х) есть нечетное продолжение функции 1(х).
Cтроим графики функций 1(x) и 2(x) на интервале ( 0, l ). Числовую ось делим точками с шагом l . Продолжением графика 2(x) на интервале (l, 2l ) будет график 1(x), а на следующем интервале опять график 2(x) и т.д. При движении налево от 0 замена графиков функций будет сопровождаться изменением знака. Определим функции 1(x) , 2(x) на всей числовой оси, тогда волновой процесс можно рассматривать как непрерывное движение вдоль неё и полученное решение волнового уравнения в свободном пространстве полностью оправдано.
Кафедра «Высшей математики»
Опорные конспекты лекций.