ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ И ЕЁ ПРИЛОЖЕНИЯ

Производная функции, её геометрический и механический смысл

О1 / Производной функции по аргументу называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда .

О2 / Физический смысл производной

Скорость изменения функции при данном есть предел средней скорости ее для промежутка аргумента от до , когда

О3 / Геометрический смысл производной

Производная функция при равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику данной функции в его точке с абсциссой .

Правила дифференцирования

1) , С - постоянная 5)

2) 6)

3) , С-постоянная 7)

4)

Формулы дифференцирования

№	Основные Элементарные функции	Сложные функции
1
2
3
4
5	,	,
6
7
8
9
10
11
12
13

Пример 1:

Найти производную функции

Решение:

Пример 2:

Продифференцировать функцию у = (5 – х2 + х3)(х4 – 3)

Пример 3:

Пример 4:

Производная сложной функции

Пусть , где и является не независимой переменной, а функцией независимой переменной .

В этом случае функция называется сложной функцией от , а переменная - промежуточным аргументом.

Производная сложной функции находится на основании следующей теоремы: если и дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна произведению производной функции по промежуточному аргументу и на производную промежуточного аргумента и по независимой переменной

Пример 5:

Найти производную функции и вычислить ее значение при

Это сложная функция с промежуточным аргументом .

Вычислим значение производной при

Пример 6:

Пример 7:

Пример 8:

Найти производную функции

Решение: это сложная функция с промежуточным аргументом .

Пример 9:

Найти производную функции

Решение:

Геометрический смысл производной

Производная функции имеет простую и важную геометрическую интерпретацию.

Если функция дифференцируема в точке , то график этой функции имеет в соответствующей точке касательную, причем угловой коэффициент касательной равен значению производной в рассматриваемой точке.

Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в точке , равен значению производной функции при , т.е. .

Уравнение этой касательной имеет вид .

Пример 10:

Составить уравнение касательной к графику функции в точке

Решение: для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную данной функции:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при :

Уравнение касательной имеет вид:

, или , т.е.

Пример 11:

Составить уравнение касательной, проведённой к графику функции в точке с абсциссой

Решение: сначала найдем ординату точки касания .

Уравнение касательной, проведенной к кривой в точке , имеет вид . Для нахождения углового коэффициента касательной найдем производную:

Угловой коэффициент касательной равен значению производной функции при :

Уравнение касательной таково: у – 2 = – (х – 2), у – 2 = – х + 2, т. е. х + у – 4 = 0

Физический смысл производной

Если тело движется по прямой по закону , то за промежуток времени (от момента до момента ) оно пройдет некоторый путь . Тогда есть средняя скорость движения за промежуток времени .

Скоростью движения тела в данный момент времени называется предел отношения приращения пути к приращению времени , когда приращение времени стремится к нулю:

.

Следовательно, производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения тела в данный момент времени: .

Скорость протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.

Производная функция равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента : .

Пример 12:

Закон движения точки по прямой задан формулой ( - в метрах, в секундах). Найти скорость движения точки в конце первой секунды.

Решение: скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути по времени : , .

Итак, скорость движения точки в конце первой секунды, равна 9 м/с.

Пример 13:

Тело, брошенное вертикально вверх, движется по закону , где - начальная скорость, - ускорение свободного падения тела. Найти скорость этого движения для любого момента времени .

Решение: скорость движения точки в данный момент времени равна производной пути по времени :

В высшей точке подъема скорость тела равна нулю:

; ; ; ;

За секунд тело поднимется на высоту

м.

Вторая производная

Производная функции в общем случае является функцией от . Если от этой функции вычислить производную, то получим производную второго порядка или вторую производную функции .

Второй производной функции называется производная от ее первой производной .

Вторая производная функции обозначается одним из символов . Таким образом, .

Аналогично определяются и обозначаются производные любого порядка. Например, производная третьего порядка:

или , .

Пример 14:

Найти вторую производную функции

Решение: сначала найдем первую производную .

Дифференцируя еще раз, найдем вторую производную:

Физический смысл второй производной

Если тело движется прямолинейно по закону , то вторая производная пути по времени равна ускорению движения тела в данный момент времени :

Таким образом, первая производная характеризует скорость некоторого процесса, а вторая производная – ускорение того же процесса.

Пример 15:

Точка движется по прямой по закону . Найти скорость и ускорение движения при .

Решение: скорость движения тела в данный момент времени равна производной пути по времени . Находим:

; тогда ;

; тогда